O método dos mínimos quadrados e ajustes de funções lineares

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Fazer gráficos de um observável em função de outro é bastante comum no dia a dia da pesquisa com o objetivo de se extrair alguma informação deste conjunto de dados. Por exemplo, de um gráfico de velocidade em função do tempo para a queda de um objeto pode-se extrair a aceleração do objeto. Do gráfico da massa em função do volume pode-se extrair a densidade do material. Os exemplos são muitos. Uma vez que os dados estão graficados, a extração das informações relevantes é feita através do ajuste de uma expressão matemática, ou função, a estes dados onde os parâmetros desta função correspondem à grandezas de interessa, tais como a aceleração, densidade, etc. Isso pode ser feito visualmente, com uma régua e intuição, mas atualmente é muito mais simples utilizar programas de análise gráfica. Há muitos disponíveis por ai. Como isso é feito? Qual o procedimento matemático que é utilizado para se determinar qual é o melhor conjunto de parâmetros que, em uma função matemática qualquer, descreve o comportamento dos dados da melhor forma possível? Há vários métodos estatísticos disponíveis. Vamos abordar o método dos mínimos quadrados.nnFazer gráficos de um observável em função de outro é bastante comum no dia a dia da pesquisa com o objetivo de se extrair alguma informação deste conjunto de dados. Por exemplo, de um gráfico de velocidade em função do tempo para a queda de um objeto pode-se extrair a aceleração do objeto. Do gráfico da massa em função do volume pode-se extrair a densidade do material. Os exemplos são muitos. Uma vez que os dados estão graficados, a extração das informações relevantes é feita através do ajuste de uma expressão matemática, ou função, a estes dados onde os parâmetros desta função correspondem à grandezas de interessa, tais como a aceleração, densidade, etc. Isso pode ser feito visualmente, com uma régua e intuição, mas atualmente é muito mais simples utilizar programas de análise gráfica. Há muitos disponíveis por ai. Como isso é feito? Qual o procedimento matemático que é utilizado para se determinar qual é o melhor conjunto de parâmetros que, em uma função matemática qualquer, descreve o comportamento dos dados da melhor forma possível? Há vários métodos estatísticos disponíveis. Vamos abordar o método dos mínimos quadrados.

O método dos mínimos quadrados

nConsidere um conjunto de dados $\{x,y,\sigma\}$ onde $\sigma$ são incertezas na variável (mais a frente vamos ver como tratar casos onde há incertezas também em ). Podemos fazer um gráfico de em função de , obtendo algo similar à figura 1.

nFigura 1 – Gráfico de em função de xnn.

nQueremos agora analisar este conjunto de dados e encontrar uma função y=f(x)

que descreva, estatisticamente, o conjunto de dados tomados, como mostrado na figura 2. Nesta figura, f(x)=ax+b

, é uma reta e, neste caso, queremos encontrar os valores de

que melhor descrevem estes dados.

nFigura 2 – Ajuste de uma reta.

nNão são quaisquer valores de

que descrevem os dados. Por exemplo, na figura 3, vemos o mesmo conjunto de dados com uma reta que claramente não descreve o comportamento médio dos dados experimentais.

nFigura 3 – Reta com valores de e que não descrevem os dados.

nComo determinar os melhores valores possíveis para

? O método dos mínimos quadrados consiste em um dos métodos disponíveis para fazer esta determinação. Ele se baseia no princípio da máxima verossimilhança que, em linhas gerais, consiste em determinar os valores desses coeficientes que maximizem a probabilidade dos dados serem compatíveis com a função que está sendo ajustada.

nVamos olhar então o nosso conjunto de dados $\{x,y,\sigma\}$ , que consiste em pontos $\{x_1,y_1,\sigma_1\},{\{x_2,y_2,\sigma_2\},...,\{x_n,y_n,\sigma_n\}$ , independentes um do outro. Além disso, os valores de y_i possuem funções densidade de probabilidade gaussianas em relação ao seu valor verdadeiro $\mu_i$ com desvio padrão $\sigma_i$ . Os valores verdadeiros $\mu_i=\mu(x_i)$ dependem do valor de x_i . Neste caso, a probabilidade de se fazer uma medida $\{x_i,y_i,\sigma_i\}$ é proporcional à esta função densidade de probabilidade, ou seja:

n $P_i \propto \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i}\exp{\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{y_i-\mu(x_i)}{\sigma_i}\right)^2\right)}$

nQueremos estimar, da melhor forma possível, os valores verdadeiros $\mu_i=\mu(x_i)$ de tal forma que a probabilidade seja máxima. Vamos tentar descrever os valores verdadeiros por uma função , que depende de , com parâmetros , a serem determinados, ou seja:

n $\mu(x) = f(x;a_1,a_2,...,a_k)$

nNo nosso exemplo da reta, acima, a_1=a

. Assim, a a probabilidade de se fazer uma medida $\{x_i,y_i,\sigma_i\}$ pode ser escrita como:n

n $P_i \propto \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i}\exp{\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{y_i-f(x_i;a_1,a_2,...,a_k)}{\sigma_i}\right)^2\right)}$

nA probabilidade total de encontrarmos o conjunto de dados medido consiste no produto da probabilidade de medir cada ponto $\{x_i,y_i,\sigma_i\}$ , ou seja:n

n $P_{total} = P_1P_2...P_n = \prod_{i=1}^{n}P_i$

nSubsitituindo os valores de probabilidade de cada ponto, lembrando que o produto de exponenciais pode ser transformado em uma soma:n

nn $\exp(k_1)\exp(k_2)...\exp(k_n)=\exp(k_1+k_2+...+k_n)=\exp\left(\sum_{i=1}^{n}k_i\right)$

nnConcluimos que a expressão para a probabilidade total é:n

n $P_{total} \propto \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n \sigma_1\sigma_2...\sigma_n}\exp{\left( -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-f(x_i;a_1,a_2,...,a_k)}{\sigma_i}\right)^2\right)}$ n

nA somatória dentro da exponencial é sempre positiva, por conta do quadrado. O sinal negativo nesta exponencial faz com que a probabilidade $P_{total}$ seja máxima se o valor da somatória:n

n $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-f(x_i;a_1,a_2,...,a_k)}{\sigma_i}\right)^2$

nFor mínimo. A somatória acima, $\chi^2$ , é chamada de chi-quadrado.

nAjustar uma função a um conjunto de dados consiste, então, em determinar os valores dos parâmetros , conhecendo-se a fórmula para f = f(x;a_1,a_2,...,a_k) de modo a minimizar o valor para $\chi^2$ . Esté é o chamado método dos mínimos quadrados. Note que fizemos duas suposições importantes: a primeira é que os pontos $\{x_i,y_i,\sigma_i\}$ são independentes um dos outros de modo que podemos calcular a probabilidade total como o produto das probabilidades individuais e elas são calculadas independentemente uma das outras. A segunda, mais importante, é que as funções densidade de probabilidade de cada ponto são gaussianas. Sem esta condição, nem sempre é possível maximizar a probabilidade minimizando o $\chi^2$ .n

O método dos mínimos quadrados (MMQ) aplicado a alguns casos

nVamos então aplicar o método dos mínimos quadrados em alguns casos simples:

, ou seja, uma função constante;n
, ou seja, uma reta passando na origem;n
, ou seja, uma reta qualquer.n

O MMQ para uma constante

nImagine um gráfico como o da figura 4. Aparentemente é uma constante, independentemente dos valores de . Neste caso, f(x)=a pode ser uma boa expressão para descrever os dados acima. n

nFigura 4 – Alguns dados a serem ajustados.

nVamos determinar o valor de

que maximize a probabilidade de f(x)=a

descrever os dados obtidos, utilizando o método dos mínimos quadrados. Para isso, devemos minimizar o valor de $\chi^2$ . Substituindo

na expressão para o $\chi^2$ , temos:n

n $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-a}{\sigma_i}\right)^2$

nUma função tem o seu valor mínimo em relação a um determinado parâmetro quando a sua derivada em relação àquele parâmetro é nula. Ou seja, para achar o valor de

que minimize o $\chi^2$ devemos fazer:n

n $\frac{d}{da}\chi^2 = 0$ n

nCalculando a derivada, temos:n

n $\frac{d}{da}\chi^2 = \frac{d}{da}\left(\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-a}{\sigma_i}\right)^2\right) = -2 \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sigma_i}\left( \frac{y_i-a}{\sigma_i}\right) = -2 \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-a}{\sigma_i^2}\right)$ n

nPara esta derivada ser nula, a somatória deve ser nula, ou seja:n

n $0 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-a}{\sigma_i^2}\right) = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i}{\sigma_i^2}\right) - a\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{\sigma_i^2}\right)$ n

nIsolando

, chegamos à:n

n $a = \frac{ \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i}{\sigma_i^2}\right)}{ \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{1}{\sigma_i^2}\right)}$ n

nPodemos ainda reescrever a expressão acima, fazendo a substituição $p_i=1/\sigma_i^2$ , que resulta em:n

n $a = \frac{ \sum_{i=1}^{n} y_ip_i}{ \sum_{i=1}^{n} p_i}$ n

nOu seja, o valor de

corresponde à média dos valores de y_i

ponderados pelo inverso do quadrado das incertezas. Isso é razoável de se entender: pontos com incertezas pequenas (mais precisos) possuem peso maior e, neste caso, o valor de

vai ficar mais próximo desses pontos. Pontos com elevada incerteza possuem pouco peso e, consequentemente, são pouco considerados no cálculo da média.

nNa figura 5 mostramos a função ajustada aos dados da figura 4. Note como os dados ficam distribuídos em torno da constante ajustada.

nFigura 5 – Constante ajustada aos dados.

nUm caso interessante é aquele em que todas as incertezas são iguais. Neste caso p_i=p

, que pode ser isolado para fora das somatórias, resultando em:n

n $a = \frac{ p\sum_{i=1}^{n} y_i}{ p\sum_{i=1}^{n} 1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i$ n

nQue corresponde ao cálculo de uma média simples dos valores de

O MMQ para uma reta passando na origem

nImagine agora a situação na qual a função que queremos ajustar aos dados seja uma reta que passa na origem, f(x)=ax . Devemos então achar a constante , que é o coeficiente angular da reta, utilizando o MMQ. Neste caso, o $\chi^2$ pode ser escrito como:n

n $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-ax_i}{\sigma_i}\right)^2$

nNote a diferença entre esta expressão para o $\chi^2$ e a utilizada no caso anterior. Mais uma vez, a minimização do $\chi^2$ para encontrar a constante

ocorre quando:n

n $\frac{d}{da}\chi^2 = 0$ n

nCalculando a derivada, temos:n

n $\frac{d}{da}\chi^2 = \frac{d}{da}\left(\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-ax_i}{\sigma_i}\right)^2\right)$

n $\frac{d}{da}\chi^2 = -2 \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\sigma_i}\left( \frac{y_i-ax_i}{\sigma_i}\right) = -2 \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_iy_i-ax_i^2}{\sigma_i^2}\right)$ n

nComo esta derivada deve ser nula para minimizar o $\chi^2$ temos que:n

n $0 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_iy_i-ax_i^2}{\sigma_i^2}\right)$

n $0 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}\right) - a\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}\right)$

nOu seja:n

n $a = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}\right)} {\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}\right)}$

O MMQ para uma reta qualquer

nNo caso de uma reta genérica, f(x)=ax+b , devemos encontrar os valores de e que minimizam, simultaneamente, o $\chi^2$ dos dados obtidos em relação a esta função. Seguindo os exemplos anteriores, a expressão para o $\chi^2$ pode ser escrita como:n

n $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{y_i-(ax_i+b)}{\sigma_i}\right)^2$

nPara encontrar os valores de

fazemos então:n

n $\frac{d}{da}\chi^2 = 0$

n $\frac{d}{db}\chi^2 = 0$ n

nNote que agora temos um sistema de duas equações para resolver. Mas também temos duas incógnitas,

. Então não há problemas. A única diferença e o maior grau de dificuldade algébrica, neste caso.

nVou deixar como exercício a resolução das duas derivadas acima e também a resolução do sistema de equações que surge. É muito interessante que isso seja feito com calma e atenção. O MMQ é uma importante ferramenta de análise de dados e vai estar presente no dia a dia nosso. Resolvendo o sistema de equações encontra-se que:n

n $a = \frac{S_\sigma S_{xy} - S_x S_y}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$

n $b = \frac{S_{x^2}S_y - S_x S_{xy}}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$ n

nSendo os valores

somatórias definidas como:n

n $S_\sigma = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sigma_i^2}$ n

n $S_x = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\sigma_i^2}$ n

n $S_{x^2} = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^2}{\sigma_i^2}$ n

n $S_{y} = \sum_{i=1}^{n}\frac{y_i}{\sigma_i^2}$ n

n $S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}$ n

nNa figura 6 é mostrado um gráfico com pontos experimentais ajustados a uma reta pelo MMQ. Note que a reta fica bastante próxima dos pontos experimentais que têm incertezas pequenas (são mais precisos). Embora isso não fique muito evidente nas expressões que deduzimos acima, a justificativa é a mesma que utilizamos no primeiro caso, do ajuste de uma constante. Note que, nas somatórias, sempre pesamos os termos pelo inverso do quadrado das incertezas. Ou seja, menores incertezas, maiores pesos nas somatórias. É por conta disso que, tão importante quanto saber medir os valores experimentais, é saber estimar as incertezas dos valores medidos. Só assim pode-se fazer uma análise estatística confiável.

nFigura 6 – Ajuste de uma reta a pontos experimentais.

Incerteza dos parâmetros ajustados

nNote que, como os parâmetros das funções são extraídos de um conjunto de dados, é natural pensar que flutuações estatísticas neste conjunto de dados afetem os valores dos parâmetros ajustados. Se repetirmos o mesmo experimento, com o mesmo procedimento, várias vezes, é natural imaginar que, a cada vez, um conjunto de parâmetros diferente será extraído. Ou seja, os parâmetros extraídos também estão sujeitos a flutuações e, consequentemente, possuem incertezas. Como obter as incertezas dos parâmetros ajustados?

nA incerteza dos parâmetros ajustados pode ser obtida através de propagação de incertezas. Sendo uma função f=f(y_1,y_2,...y_n) onde cada medida y_i possui uma incerteza $\sigma_i$ , a incerteza de pode ser calculada através de:n

n $\sigma_f^2 = \sum_{i=1}^{n}{\left(\frac{\partial f}{\partial y_i}\right)^2\sigma_i^2}$

nNos nossos casos, o parâmetro ajustado depende dos valores dos pontos experimentais, (x_i,y_i)

e das incertezas nos pontos, $\sigma_i$ . Nesse caso, considerando que há apenas incertezas nos valores de

(veremos mais a frente o que fazer quando há incertezas em

). Não consideramos também que as incertezas são estimadas e, portanto, também estariam sujeitas a flutuações. Sendo assim, devemos aplicar a fórmula de propagação de incertezas somente em relação aos valores de

dos dados ajustados.

Incerteza no ajuste de uma constante

nComo vimos acima, se fizermos um ajuste de uma constante, ou seja, f(x)=a , aos dados, o MMQ resulta em:

n $a = \frac{ \sum_{i=1}^{n} y_ip_i}{ \sum_{i=1}^{n} p_i}$

ncom $p_i=1/\sigma_i^2$ . Neste caso, aplicando-se a fórmula de propagação de incertezas, temos que:n

n $\sigma_a^2 = \sum_{j=1}^{n}{\left(\frac{\partial a}{\partial y_j}\right)^2\sigma_j^2}$

nCalculando-se a derivada parcial em relação a um valor qualquer de y_j

, obtemos que:n

n $\frac{\partial a}{\partial y_j}= \frac{ p_j}{ \sum_{i=1}^{n} p_i}$

nSubstituindo essa expressão na fórmula de propagação para a constante, obtem-se:n

n $\sigma_a^2 = \sum_{j=1}^{n}{\left(\frac{ p_j}{ \sum_{i=1}^{n} p_i}\right)^2\sigma_j^2} = \sum_{j=1}^{n}{\left(\frac{ p_j}{ \sum_{i=1}^{n} p_i}\right)^2\frac{1}{p_j}}$

n $\sigma_a^2 = \frac{\sum_{j=1}^{n}{p_j}}{\left(\sum_{i=1}^{n} p_i}\right)^2} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} p_i}}$

nOu seja:

n $\sigma_a^2 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma_i^2}}}$ n

nNote que, na expressão acima, se as incertezas de todos os pontos forem iguais, ou seja, $\sigma_i = \sigma$ , ela se reduziria à:n

n $\sigma_a^2 = \frac{\sigma^2}{n}}$ n

nque é a expressão para o desvio padrão da média. Esse resultado está de acordo com o fato de que, sendo todas as incertezas iguais, o valor ajustado corresponde à média simples de todos os pontos, como discutimos anteriormente.n

Incerteza no ajuste de uma reta passando pela origem

nNo caso de um ajuste de uma reta passando na orígem, f(x)=ax , a constante , conforme deduzimos, vale:n

n $a = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}\right)} {\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}\right)}$

nA derivada parcial dessa expressão em relação à y_j

vale:n

n $\frac{\partial a}{\partial y_j} = \frac{\frac{x_j}{\sigma_j^2}}{\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}\right)}$

nSubstituindo essa derivada na expressão para propagação de incertezas, como fizemos no caso do ajuste de uma constante, obtém-se que, após alguma manipulação:n

n $\sigma_a^2 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\left( \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}\right)}$

Incerteza no ajuste de uma reta qualquer

nNo caso de uma reta qualquer, f(x)=ax+b , os parâmetros ajustados são dados por:n

n $a = \frac{S_\sigma S_{xy} - S_x S_y}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$

n $b = \frac{S_{x^2}S_y - S_x S_{xy}}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$ n

nSendo os valores

somatórias definidas anteriormente. Usando o mesmo princípio que nos casos anteriores de propagação de incertezas, considerando apenas as grandezas

como possuindo incertezas, é fácil chegar em (faça como exercício):n

n $\sigma_a^2 = \frac{S_\sigma}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$

n $\sigma_b^2 = \frac{S_{x^2}}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$ n

nNo caso de um ajuste com mais de um parâmetro, é comum que estes parâmetros não sejam independentes um do outro. Ou seja, pode haver covariância entre eles. No caso de uma reta isso é simples de entender. Um pequeno aumento no valor de

, por exemplo, força que o valor de

diminua de modo a tentar manter o $\chi^2$ minimizado. E vice-versa: uma diminuição de

força um aumento em

. Ou seja, estes parâmetros não são independentes. Em momento oportuno eu pretendo escrever um texto mais formal sobre covariâncias e tocarei neste assunto novamente. Por hora, caso seja necessário, a covariância entre esses parâmetros pode ser facilmente calculada através de:n

n $cov(a,b) = \frac{S_x}{S_\sigma S_{x^2} - S_x S_x}$ n

Ajustes com incertezas na variável x

n O MMQ que desenvolvemos até aqui supôs que $\sigma_x=0$ ou seja, não há incertezas nas variáveis . Mas em muitas situações práticas, tanto as variáveis quanto possuem incertezas. O método formal para isso é chamado de método dos mínimos quadrados totais (ver esse link). Vamos aqui tentar simplificar um pouco e tentar compreender a ideia por trás de uma minimização onde consideramos incertezas em e .

nNo MMQ somente com incertezas em nós calculamos os resíduos entre os pontos experimentais e a função ajustada, dados por:n

n $r_i = \frac{y_i-f(x_i)}{\sigma_i}$ n

nde modo que o chi-quadrado é calculado da soma de todos os resíduos ao quadrado, ou seja:n

n $\chi^2=\sum_{i=1}^{n}{r_i^2}$ n

nque é posteriormente minimizado em relação aos parâmetros livres da função f(x)

nO que estamos fazendo, quando obtemos os resíduos desta forma, é calcular a “distância” entre os pontos experimentais e a função ajustada em unidades de incerteza. Quando só há incerteza em , a incerteza da diferença entre y_i e f(x_i) é dada pela própria incerteza em y_i ou seja, $\sigma_i$ .

nQuando há incerteza em x_i , a o valor da função em f(x_i) está sujeita a uma incerteza. Sabendo que a diferença entre o ponto experimental e a função ajustada pode ser escrita como:n

n d_i = y_i-f(x_i) n

nA incerteza nesta diferença é:nn

n $\sigma_{d_i}^2 = \sigma_i^2 + \sigma_{f(x_i)}^2 = \sigma_i^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_{x_i}^2$ n

nDeste modo, os resíduos podem ser calculados como:nn

n $r_i = \frac{y_i-f(x_i)}{\sqrt{\sigma_i^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_{x_i}^2}}$ n

nDe modo que o chi-quadrado, finalmente, pode ser escrito como:nn

n $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n}{\frac{(y_i-f(x_i))^2}{\sigma_i^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_{x_i}^2}}$ n

nQue deve ser minimizado em relação aos parâmetros livres da função

. Note que isso é agora muito mais complexo, pois há um termo de uma derivada de

, o que complica bastante a resolução algébrica do problema. Programas de computadores lidam com isso sem muitos problemas, seja resolvendo precisamente o problema de mínimos quadrados totais, seja através de métodos numéricos. Por outro lado, podemos nos encontrar em uma situação na qual não temos à disposição um programa para fazer a regressão total ou o que temos considera apenas incertezas em

. Neste caso, podemos aplicar uma receita simples que funciona na grande maioria dos casos práticos do nosso dia a dia:n

Faça o ajuste da função considerando apenas as incertezas em , ou seja, assuma que $\sigma_x = 0$ .n
De posse dos parâmetros ajustados, calcule incertezas “efetivas” para dadas por: $(\sigma_i^2)_{\text{efetiva}} = \sigma_i^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_{x_i}^2$ n
Faça novamente o ajuste da função considerando agora que as incertezas em são as efetivas, calculadas no passo (2).n
De posse dos novos parâmetros ajustados, repita os passos (2) e (3) até que a diferença entre uma repetição e a anterior para os valores dos parâmetros ajustados seja pequeno, se comparada à incerteza desses parâmetros. n

nnÉ um método trabalhoso mas com uma ou duas interações, em geral, a resposta converge e o resultado é bastante satisfatório do ponto de vista prático.