Revisão de relatividade restrita

nnVersão para impressãon nn Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.n nn O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. n

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nEm geral, o estudo de partículas fundamentais e suas interações envolve medidas de seções de choque e taxas de decaimentos diversos. Deste modo podemos resumir estes estudos em reações envolvendo várias partículas antes e depois da interação, na forma:nn
n n n n n n

$A+B+...\rightarrow C+D+...$

n nnNa prática, por conta das escalas envolvidas, tanto de tempo quanto de espaço, nos processos de interação, experimentalmente só se tem acesso ao estado assintótico final, conhecendo-se o estado assintótico inicial. Para tentar reconstruir os processos físicos que levam o estado inicial ao final, faz-se uso de diversas leis de conservação. No fundo, é um exercício de colisões, porém, diferentemente do que aprendemos em física 1, estas colisões, em quase todos os casos, envolvem velocidades relativísticas. Neste caso, compreender bem as propriedades destas colisões neste regime é importante. Além disso, algumas grandezas novas são definidas neste contexto, de modo a facilitar a interpretação das medidas obtidas. Sendo assim, faremos uma breve revisão de relatividade restrita.n
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nPodemos construir a relatividade restrita partindo da noção de que as leis físicas não devem mudar por conta de diferentes escolhas de referenciais inerciais. Isso não parecia acontecer no caso do eletromagnetismo, no qual as equações de Maxwell não eram invariantes por mudanças de referencial através de transformações de Galileo, utilizadas sem problemas no limite de baixas velocidades. Admitindo que a velocidade da luz no vácuo era invariante, independente da escolha de referencial, Einstein mostrou que as variáveis espaço-temporais entre dois referenciais distintos estariam relacionadas através de transformações de Lorentz, mostrando que no limite de altas velocidades, como é o caso do eletromagnetismo, mudanças de referencias ocorrem de forma diferente do que no limite de baixas velocidades. Sejam dois referenciais distintos

, onde

move-se com velocidade $v=v_z=\beta$ em relação à

ao longo do eixo-z. As coordenadas espaço-temporais no referencial

podem ser escritas como:nn
n n n n n n

n n
n n n n n n

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

n nnA transformação inversa, do referencial

para o referencial

pode ser feita simplesmente mudando o sinal da velocidade $\beta$ . Três consequências importantes destas transformações são: contração do espaço, dilatação do tempo e a simultaniedade de eventos.
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nSupondo um objeto de comprimento

ao longo do eixo-z’, no referencial

, um observador no referencial

, em um instante de tempo neste referencial observa este objeto com comprimento:nn
n n n n n n

n nnOu seja, um observador percebe um objeto movendo-se com elevada velocidade como tendo um comprimento menor (na direção do movimento) do que o comprimento que este objeto teria no referencial em que ele está em repouso. Isto é denominado de contração do espaço e é perceptível em colisões relativísticas. Por exemplo, um núcleo de chumbo, no LHC, no referencial do laboratório, possui uma forma que lembra muito mais uma panqueca do que uma esfera, pois o núcleo possui uma elevada contração espacial na direção em que ele se move. Note que as outras dimensões (no nosso caso, x e y) não sofrem contração.
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nDe forma análoga, dois eventos distintos, com intervalo entre eles $\Delta t$ no referencial

, quando observados por um observador no referencial

é observado em um intervalo de tempo tal que:nn
n n n n n n

$\Delta t = \gamma(t$

n nnIsto é chamado de dilatação do tempo e pode ser interpretado da seguinte forma: relógios em movimento “andam” mais lentamente. Esta propriedade faz com que, por exemplo, seja possível observar à nível do mar múons produzidos na alta atmosfera por conta de reações envolvendo raios cósmicos. A vida média de múons, no seu referencial próprio é de aproximadamente 2 x 10^-6 s. Neste tempo, à velocidade da luz, o múon viaja uma distância de apenas 600 metros. A dilatação do tempo, para alguém no planeta, faz com que esta vida média, por conta do múon estar viajando com velocidades próximas à da luz, seja muito maior, possibilitando observá-lo a nível do mar.
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nUm terceiro aspecto decorrente das transformações de Lorentz é a simultaneidade de eventos. Se dois eventos ocorrem simultaneamente no referencial

, mas em posições z_a

distintas, então pode-se mostrar que:nn
n n n n n n

n nnApesar de esta forma de representar as transformações de Lorentz seja simples, uma representação tensorial destas transformações permite simplificar ainda mais a manipulação matemática. Podemos escrever as transformações de Lorentz como um produto matricial do tipo:nn
n n n n n n

$\begin{pmatrix}rnt$

n nnpodemos definir então um quadrivetor posição tal que:nn
n n n n n n

$x^\mu = \begin{pmatrix}rnx^0 & x^1 & x^2 & x^3rn\end{pmatrix}rn=rn\begin{pmatrix}rnt & x & y & zrn\end{pmatrix}rn=rn\begin{pmatrix}rnx^0 & \vec{x} rn\end{pmatrix}$

n nne um tensor (um bom texto sobre tensores pode ser encontrado neste link, da página pessoal do Prof. Henrique Fleming) que represente a transformação, da forma:nn
n n n n n n

$\Lambda^\mu_\nu=\begin{pmatrix}rn\gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\ rn 0& 1 & 0 & 0\\ rn 0& 0 & 1 & 0\\ rn-\beta\gamma & 0 & 0 & \gammarn\end{pmatrix}$

n nnde tal forma que podemos reescrever as transformações de Lorentz como:nn
n n n n n n

$x^\mu$

n nnPara facilitar a nossa vida, economizando os símbolos de somatória, vamos utilizar daqui para a frente a notação de Einstein e a equação acima torna-se:nn
n n n n n n

$x^\mu$

n nnEm resumo, nesta notação, quando um índice (no nosso caso, o $\nu$ ) aparece superescrito e subescrito, subentende-se uma somatória neste índice. Pode-se mostrar que, apesar de as coordenadas de um quadrivetor mudarem por conta de uma trasnformação de Lorentz, tomando dois quadrivetores quaisquer $x^\mu$ e $y^\mu$ no referencial

e $x^\mu$ e $y^\mu$ no referencial

, a quantidade:nn
n n n n n n

$A = x^0y^0-\vec{x}\cdot\vec{y} = x^0$

n nnpermanece a mesma. Este produto, invariante por transformações de Lorentz, vai ser muito útil mais adiante. Contudo, seria interessante poder escreve-lo em uma notação matricial, similar à que fizemos para as transformações de Lorentz. Para isso precisamos lidar com os sinais de menos que aparecem no produto escalar das componentes espaciais dos quadrivetores. Para resolver este problema definimos um tensor métrico $g_{\mu\nu}$ da forma:nn
n n n n n n

$g_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}rn1 & 0 & 0 & 0\\ rn0 & -1 & 0 & 0\\ rn0 & 0 & -1 & 0\\ rn0 & 0 & 0 & -1rn\end{pmatrix}$

n nnde forma que podemos escrever:nn
n n n n n n

$A=g_{\mu\nu}x^\mu y^\nu}$

n nnOu melhor, podemos definir o quadrivetor $x_\nu$ , como sendo:nn
n n n n n n

$x_\nu = g_{\mu\nu}x^\mu = \begin{pmatrix}rnt & -x & -y & -z rn\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}rnt & -\vec{x} rn\end{pmatrix}$

n nnde tal forma que:nn
n n n n n n

$A=x_\nu y^\nu$

n nnA grandeza $A =x_\nu y^\nu = x\cdot y$ é definida como sendo o produto escalar entre os quadrivetores x e y. Tome cuidado para não confundir o produto escalar entre quadrivetores e vetores. São coisas parecidas mas diferentes. Da mesma forma, podemos definir o modulo quadrático de um quadrivetor como sendo:nn
n n n n n n

$x^2 = x_\nu x^\nu = (x^0)^2 - \vec{x}\cdot\vec{x}$

n nnPor conta do sinal de menos nesta expressão, o módulo de um quadrivetor pode ser positivo, negativo ou nulo. Se for positivo, o termo temporal do quadrivetor predomina e nós chamamos este quadrivetor do “tipo tempo”. Se for negativo, os termos espaciais predomina e, consequentemente, denominamos o quadrivetor como “tipo espaço”. Se for nulo, denominamos de “tipo luz”.n
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nVamos agora fazer o análogo ao quadrivetor posição para a velocidade. Classicamente, velocidade é definida como $\vec{v}=d\vec{x}/dt}$ . Acontece que esta definição para velocidade não é um invariante de Lorentz e gostaríamos de construir um quadrivetor análogo à velocidade tal que $u_\mu u^\mu$ fosse invariante por transformações de Lorentz. Vamos primeiramente lembrar o conceito de tempo próprio $\tau$ : tempo próprio é definido como um intervalo de tempo entre dois eventos medidos por um relógio que passa por estes dois eventos. Ele não depende somente do intervalo de tempo mas depende também do relógio se mover de um evento para o outro. No caso de uma partícula em um referencial

no qual ela está em repouso, o tempo próprio desta partícula é medido pelo relógio neste referencial

. Vamos definir um quadrivetor velocidade de tal forma que:nn
n n n n n n

$u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$

n nnNo nosso caso particular, de uma partícula, o tempo próprio está relacionado ao tempo no referencial

através da relação de dilatação do tempo, ou seja:nn
n n n n n n

$dt=\gamma d\tau$

n nnDeste modo:nn
n n n n n n

$u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=\frac{dx^\mu}{\frac{1}{\gamma}dt}=\gamma\frac{dx^\mu}{dt}$

n nnAssim, é fácil demonstrar que o quadrivetor velocidade possui componentes tais que:nn
n n n n n n

$u^\mu=\begin{pmatrix}rn\gamma & \gamma v_x & \gamma v_y & \gamma v_zrn\end{pmatrix}$

n nnE assimnn
n n n n n n

$u_\mu u^\mu = \gamma^2(1-v_x^2-v_y^2-v_z^2)=\gamma^2(1-\beta^2)=\gamma^2 \gamma^{-2} = 1$

n nnAqui vale a pena fazer uma observação, fugindo um pouco do nosso sistema de unidades: $u_\mu u^\mu$ tem dimensão de quadrado de velocidade. Assim, se estivéssemos adotando um outro sistema de unidades, teríamos que $u_\mu u^\mu=c^2$ . Não dá para ser mais invariante que a velocidade da luz, certo?
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nEm analogia à definição clássica de momento, definimos o quadrivetor momento como sendo $p^\mu=mu^\mu$ cujas coordenadas são:nn
n n n n n n

$p^\mu=\begin{pmatrix} \gamma m & \gamma m v_x & \gamma m v_y & \gamma m v_z \end{pmatrix}$

n nnQue escrevemos simplesmente como:nn
n n n n n n

$p^\mu=\begin{pmatrix} E & p_x & p_y & p_z \end{pmatrix}$

n nnOnde definimos a energia como $E=\gamma m$ . Se não estivéssemos utilizando o sistema natural, teríamos definido $E=\gamma m c^2$ e o quadrivetor momento teria a forma $p^\mu=\begin{pmatrix} E/c & p_x & p_y & p_z \end{pmatrix}$ . No frigir dos ovos, é tudo uma questão de acertar dimensões depois. Este quadrivetor é invariante por transformações de Lorentz sendo:nn
n n n n n n

$p_\mu p^\mu = E^2 - p_x^2 - p_y^2 -p_z^2 = \gamma^2 m^2 (1 - \beta^2) = m^2 \gamma^2\gamma^{-2} = m^2$

n nnOu seja, o módulo do quadrimomento da partícula é a massa desta partícula e independe de referencial. Esta é chamada, por conta disso, de massa invariante e tem uma importância enorme em física de partículas elementares, como veremos em breve.
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nOBS: Muitos livros, em analogia à definições classicas, chamam $\gamma m$ de massa relativística. Assim, as expressões de momento relativísticos ficam mais familiares. Esta é uma nomenclatura/definição totalmente obsoleta em física de partículas elementares e totalmente irrelevante para o seu estudo. A grandeza verdadeiramente importante é a massa invariante. A partir do quadrivetor momento, pode-se mostrar facilmente que:nn
n n n n n n

$E^2 = m^2 + p^2 \rightarrow E=\sqrt{ m^2 + p^2}$

n nnque no limite de baixas velocidades $\beta=v<<1$ pode ser expandida em uma série de Taylor de tal forma que:nn
n n n n n n

$E=m+\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8}mv^4 +...$

n nnque, desprezando os termos além do quadrático na velocidaee, resulta na expressão não relativística para energia de uma corpo livre, a menos de uma constante, a massa. Esse termo de massa (na verdade, saindo do sistema natural, mc^2

) é chamado de energia de repouso da partícula. Por analogia, podemos dizer que a energia cinética de uma partícula relativística é dada por:nn
n n n n n n

$T = E - m = \sqrt{m^2+p^2} - m$

n nn

Exemplos

Contração de Lorentz em um feixe do LHC.

nSuponha uma colisão de feixes de próton no LHC a energia cinética de 7 TeV por próton. A massa do próton é de aproximadamente 938 MeV. Isso faz com que a energia total do próton seja $E=T+m=7.000938 \sim 7\text{ TeV}$ e assim:nn
n n n n n n

$E=\gamma m \rightarrow \gamma = \frac{7 \times 10^6}{938} \sim 7500 = (1-\beta^2)^{-2} \rightarrow \beta \sim 0.999999991$

n nn

Uso de partículas instáveis em feixes de aceleradores

nÉ comum em aceleradores a produção de feixes instáveis para realização de experimentos. Em geral um feixe de prótons de alta energia é utilizado para bombardear um alvo, produzindo várias partículas, dentre elas a que queremos utilizar como feixe instável. Estas partículas são colimadas por campos eletromagnéticos e utilizadas como feixe secundário para bombardear outro alvo, cuja reação resultante queremos estudar. É comum produzir, por exemplo, feixes de $\Lambda$ ou $\pi$ desta maneira. Vamos tomar como exemplo um feixe de píons carregados, cuja massa é de 0.1396 GeV e comprimento de decaimento $c\tau_\pi=7.80\text{ m}$ , ou seja, no referencial do píon, a intensidade do feixe de píons segue uma lei de potência do tipo $\exp(-x/c\tau_\pi)$ . Este feixe foi produzido com energia de 24.0 GeV e é enviado a um alvo cerca de 2.5 km de distância. Qual a intensidade do feixe inicial que atinge o alvo?n
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nNo referencial do laboratório há uma dilatação do tempo do relógio do píon causando um aumento no seu comprimento de decaimento. Neste caso podemos calcular que:nn
n n n n n n

$\gamma = \frac{E}{m}=\frac{24.0}{0.1396} = 171.9$

n nnAssim, no referencial do laboratório, o comprimento de decaimento do píon fica:nn
n n n n n n

$c\tau_\pi^{lab} = c\gamma\tau_\pi = 171.9\times 7.80 = 1340 m$

n nnAssim, a fração de píons que sobrevive a este percurso é:nn
n n n n n n

$f \propto \exp(-2500/1340) \sim 15\%$

n nnNote que se não houvesse dilatação do tempo, a fração de píons que sobreviveria seria $f\propto \exp(-2500/7.80) \sim 10^{-140}$ o que tornaria inviável este tipo de experimento.
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Leitura recomendada

Capítulo 3 do livro “Introduction to Elementary Particles”, D. griffithsn
Capítulo 1 do livro “Particle Physics, an introduction”, M. Leon (note que ele utiliza um formalismo ligeiramente diferente para representação das transformações de Lorentz, mas vale a pena conhecer.).n
Capítulo 6 do livro “Curso de Física Básica, vol. 4”, H. Moysés Nussenzveign
Apostila de tensores do Prof. Henrique Fleming, neste link.n

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Exercícios

Múons são produzidos na atmosfera por meio da colisão de raios cósmicos com as camadas mais altas da atmosfera. Supondo que múons sejam produzidos a 8000 m de altura, com energia de 1 GeV, sabendo que a vida média de múons é de 2.2 x 10^-6 s, discuta se eles chegam ou não à superfície do planeta e qual seria a fração de múons produzidos que atingiriam a superfície. n
Mostre que a quantidade $x_\mu x^\mu$ é invariante sobre transformações de Lorentz.n
Encontre a matriz de transformação que inverte a eq. (14), ou seja, encontre de tal forma que $x^\mu = M_\nu^\mu x^\nu$ . Mostre que $\Lambda M = 1$ .n
Um feixe de chumbo no LHC foi acelerado em 2012 a uma energia de 1.38 TeV/A, sendo A o número de nucleons (prótons + nêutrons) do chumbo. O núcleo de chumbo possui 208 nucleons. Assuma que a energia de ligação entre os nucleons do chumbo seja desprezível e tome o valor médio entre a massa do próton e nêutron para a massa do nucleon. Assumindo que o chumbo, em repouso, é esférico com raio $r=r_0 A^{1/3}$ , com $r_0 = 1.2\text{ fm}$ , obtenha a espessura observada do núcleo de chumbo na direção da sua velocidade no referencial do laboratório no LHC. Obtenha as densidades de massa do chumbo acelerado e em repouso e compare os seus valores. n

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Exercício de análise/simulação

O sistema de tempo de vôo do experimento ALICE no LHC (ToF) consiste de um barril de raio $r=380\text{ cm}$ que é capaz de medir o tempo de vôo de partículas com precisão de $\sigma=120\text{ ps}$ . O processo de identificação de partículas, com este método, se dá através de um teste-z simples onde se compara a velocidade medida com este sistema com o esperado teoricamente, que depende do momento da partícula e da sua massa. A variável z é calculada, desta forma, como $z_A = |(\beta - \beta_{A})/\sigma|$ onde $\beta_A$ é o valor teórico esperado se a partícula medida fosse . Para decidir se uma partícula é adota-se que e $z_\pi <3$ , $\beta$ em função do momento para píons, káons e prótons. Desenhe os limites de $3\sigma$ em torno de cada uma destas previsões e, com base nisso, discuta em quais faixas de momento é possível indetificar, univocamente, píons, káons e prótons.n