Calculando diagramas de Feynman – "eletrodinâmica" com spin 0

nnVersão para impressãon nn Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.n nn O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. n

n
nnPrecisamos agora aprender a calcular os diagramas de Feynman que vimos anteriormente. Vamos nos concentrar por alguns instantes em uma única interação, representada pela troca de um fóton (ou uma outra partícula de interação). Neste caso, a transição entre os estados pode ser calculada aa partir de:nn
n n n n n n

$dW_{i\rightarrow j} = |a_{ij}^{(1)}|^2$

n nncom:nn
n n n n n n

$a_{ij}^{(1)}(t) = - i \int{\langle e_j|\hat V_I(t$

n nnDeduzimos esta expressão sem nos preocupar com o requerimento de que o resultado final seja invariante por transformações de Lorentz. Apesar de ser, esta invariância não é óbvia. Utilizando de um exemplo simples, vamos poder construir uma equação para a transição de primeira ordem que seja invariante naturalmente. Vamos construir uma formulação para interações eletromagnéticas com partículas sem spin, conforme descrito no capítulo 4 do Halzen e Martin. O tratamento sem considerar o spin das partículas, neste momento, facilitará o entendimento de como as regras para os cálculos dos diagramas de Feynman surgem. Mas é sempre bom lembrar que este tratamento que faremos aqui não representa um sistema físico real, já que léptons possuem spin 1/2. Vamos calcular então, o espalhamento de uma partícula por um campo eletromagnético, representada pelo seu quadrivetor potencial, como descrito na figura 1
n
nn

nFigura 1 – Espalhamento de uma partícula por um potencial eletromagnético.nn
n
nUma partícula sem spin deve satisfazer a equação de Klein-Gordon,nn
n n n n n n

$(\square ^2 + m^2)\phi =0 \text{ com } \square^2 =\partial_\mu \partial^\mu$

n nnsendo que:nn
n n n n n n

$\partial_\mu = \left ( \frac{\partial}{\partial t},\vec{\nabla} \right ) \text{ e } \partial^\mu = \left ( \frac{\partial}{\partial t},-\vec{\nabla} \right )$

n nnQuando discutimos sobre simetrias, vimos, ainda que de forma simplista, que o requerimento de invariância local de uma transformação de fase faz surgir potenciais vetor e escalar que são os mesmos que surgem no eletromagnetismo. De qualquer forma, não custa olhar novamente, agora partindo do eletromagnetismo, como estes potenciais são incluídos na eq. de Klein-Gordon. Vamos fazer isto classicamente. Para uma partícula livre o momento se conserva, de modo que:nn
n n n n n n

$\frac{d}{dt}(m\gamma v) =0$

n nnComparando a equação acima com a Eq. de Euler-lagrange:nn
n n n n n n

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} -\frac{\partial L}{\partial q} =0$

n nnÉ fácil ver que a Lagrangeana para uma partícula livre relativística pode ser escrita na forma:nn
n n n n n n

$L = -m\gamma^{-1}$

n nnÉ fácil notar que a Lagrangeana acima satisfaz a condição de que $\gamma L$ seja invariante por transformações de Lorentz. Isto é fácil de entender. A ação provocada por esta Lagrangeana em um determinado caminho deve ser invariante por transformação de Lorentz e, sendo assim:nn
n n n n n n

$A = \int_{a}^{b}{L dt} = \int_{a}^{b}{(\gamma L) d\tau}$

n nnComo o tempo próprio é invariante, a ação

somente será invariante se $\gamma L$ for. Neste caso, devemos procurar satisfazer esta condição também para a parte referente à interação. Devemos também satisfazer a condição de que a parte de interação, no limite de baixas velocidades, se reduza à $L_{int} = -e\Phi$ , sendo $\Phi$ o potencial elétrico ao qual a carga está sujeita. Sendo $\Phi$ uma das compontentes do quadrivetor potencial $A^\mu = (\Phi,\vec A)$ , é fácil ver que a Lagrangeana de interação deve incluir algum tipo de produto entre quadrivetores, sendo um deles o quadrivetor potencial. Deve ser também proporcional à carga elétrica e inversamente proporcional à $\gamma$ , como a Lagrangeana livre, de modo a manter $\gamma L$ invariante. É fácil ver que:nn
n n n n n n

$L_{int} = -\frac{e}{m}\frac{1}{\gamma} p_\mu A^\mu = -e\Phi + e \vec v \cdot \vec A$

n nnsatisfaz as condições acima. Assim, a Lagrangeana para uma partícula em um campo eletromagnético torna-se, classicamente:nn
n n n n n n

$L = -m\gamma^{-1} +e\vec v \cdot \vec A - e\Phi$

n nnOnde pode-se mostrar que os momentos associados as coordenadas generalizadas são:nn
n n n n n n

$P_i = \frac{\partial L}{\partial v_i} = \gamma m v_i +e A_i$

n nnIsto é, o novo quadrivetor momento pode ser escrito como:nn
n n n n n n

$P^\mu \rightarrow p^\mu + e A^\mu$

n nnCujo análogo quântico seria $i\partial^\mu \rightarrow i\partial^\mu +e A^\mu$ . Substituindo na Eq. de Klein-Gordon, temos:nn
n n n n n n

$((\partial_\mu -ieA_\mu)(\partial^\mu -ieA^\mu) +m^2)\phi = 0$

n nnque, com um pouco de desenvolvimento resulta em:nn
n n n n n n

$(\partial_\mu \partial^\mu +m^2)\phi = (e^2 A^2 + ie(\partial_\mu A^\mu + A^\mu \partial_\mu))\phi = -V\phi$

n nnonde é fácil identificar o potencial $V = - (e^2 A^2 + ie(\partial_\mu A^\mu + A^\mu \partial_\mu))$ . Sabendo que a carga do elétron vale $4\pi\alpha$ , com $\alpha = 1/137$ podemos, em uma teoria de perturbação de primeira ordem, tomar que o potencial perturbativo é apenas $V = - ie(\partial_\mu A^\mu + A^\mu \partial_\mu)$ nn
n
nnComo vimos, a amplitude de transição de um estado inicial, i, para um estado final, f, é escrita como:nn
n n n n n n

$T_{fi} = a_j(t) = -i\int{\langle e_j^0|V|e_i^0\rangle e^{i\omega_{ij}t^\prime}dt^\prime}$

n nnQue podemos reescrever, em forma de funções de onda, e abrindo o produto escalar dentro da integral, como:nn
n n n n n n

$T_{fi} = -i\int{\phi_f^* V \phi_i }d^4 x}$

n nnque, substituindo o potencial acima resulta em:nn
n n n n n n

$T_{fi} = i\int{\phi_f^* ie(\partial_\mu A^\mu + A^\mu \partial_\mu) \phi_i }d^4 x}$

n nnO primeiro termo da integral acima, $\int{\phi_f^* ie(\partial_\mu A^\mu \phi_i) }d^4 x}$ , pode ser resolvido por partes, através da relação $\int{u(x)v$ , que é particularmente útil por permitir que eu transfira as derivadas para o estado final. Deste modo:nn
n n n n n n

$T_{fi} = i\left( ie (\phi_f^* A^\mu \phi_i) - \int{ie((\partial_\mu \phi_f^*)A^\mu \phi_i d^4x )} + \int{ie (\phi_f^* A^\mu(\partial_\mu \phi_i)) d^4x} \right)$

n nnEm (18), o primeiro termo da expressão se anula, pois assumimos a condição de que não haja interação eletromagnética nos limites assintóticos. Assim, rearranjando os termos, podemos escrever que:nn
n n n n n n

$T_{fi} = i \int{ie (\phi_f^* A^\mu(\partial_\mu \phi_i) - (\partial_\mu \phi_f^*)A^\mu \phi_i) d^4x} = -i \int{j_\mu^{(fi)} A^\mu d^4x}$

n nncom:nn
n n n n n n

$j_\mu^{(fi)} = -ie (\phi_f^* (\partial_\mu \phi_i) - (\partial_\mu \phi_f^*) \phi_i)$

n nn $j_\mu^{(fi)}$ é a corrente de partículas do estado inicial para o final nesta transição. Tomando que as partículas inicial e final são partículas livres, isto é, $\phi = N e^{-i p_\mu x^\mu}$ , com $p_\mu$ o quadrimomento inicial e/ou final da partícula,

, uma constante de normalização, pode-se calcular a corrente de partículas como sendo:nn
n n n n n n

$j_\mu^{(fi)} = -e N_i N_f (p_i + p_f)_\mu e^{i(p_f-p_i)_\mu x^\mu}$

n nnPrecisamos agora descrever o potencial vetor $A^\mu$ de modo a calcular a amplitude de transição do estado inicial para o final. Acontece que o diagrama mostrado na figura 1 é apenas um pedaço do processo. De onde veio o fóton? Podemos, por exemplo, considerar que o fóton é devido à interação eletromagnética entre o elétron e uma outra partícula. Vamos tomar esta outra partícula como sendo um múon, de modo a evitar complicações, por enquanto, por conta de partículas idênticas. Neste caso, temos um diagrama como o representado na figura 2.
n
nn

nFigura 2 – Espalhamento elétron múon.
n
nnNote que, na figura 2, os elétrons, ao invés de terem índices i e f, possuem agora índices A e B. Por analogia ao cálculo que fizemos para o elétron, anteriormente, podemos escrever a corrente para múons como:nn
n n n n n n

$j^\mu_{(2)} = -e N_B N_D (p_D + p_B)^\mu e^{i(p_D-p_B)^\mu x_\mu}$

n nnResta-nos agora relacionar esta corrente com o fóton responsável pela interação. Para isto, utilizamos a Eq. de Maxwell $\square^2 A^\mu = j^\mu$ . Como $j^\mu_{(2)}$ é uma exponencial simples, é fácil integrar esta equação e, por conta disso, escrevemos que:nn
n n n n n n

$A^\mu = -\frac{1}{(p_D-p_B)^2} j^\mu_{(2)} = -\frac{1}{q^2} j^\mu_{(2)}$

n nndefinindo q = p_D-p_B

, o momento transferido na interação. Substituindo (23) em (19), lembrando de adaptar os índices para a corrente do elétron, temos que:nn
n n n n n n

$T_{if} = -i\int{j_\mu^{(1)} \left( -\frac{1}{q^2}\right) j^\mu_{(2)} d^4x} = -i\int{j^\mu_{(1)} \left( -\frac{g_{\mu\nu}}{q^2}\right) j^\nu_{(2)} d^4x}$

n nn
n n n n n n

$T_{if} = -i N_A N_B N_C N_D \left[ \frac{1}{i^3} (-ie)(p_A+p_C)^\mu \left( -i\frac{g_{\mu\nu}}{q^2}\right) (-ie)(p_B+p_D)^\nu \right] \int{e^{-i(p_C+p_D - p_A - p_B)^\mu x_\mu}d^4x}$

n nnLembrando que:nn
n n n n n n

$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int{e^{-ipx}dx}$

n nne que estamos integrando em 4 variáveis (as quatro compontentes dos quadrivetores), a equação (25) torna-se:nn
n n n n n n

$T_{if} = -i N_A N_B N_C N_D (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_C+p_D - p_A - p_B) \mathfrak{M}$

n nncomnn
n n n n n n

$-i\mathfrak{M} = (-ie)(p_A+p_C)^\mu \left( -i\frac{g_{\mu\nu}}{q^2}\right) (-ie)(p_B+p_D)^\nu$

n nnA razão para organizar os termos nesta forma é para evidenciar suas correspondências. Em (27), as constantes N indicam os fatores de normalização, que deveremos tratar a seguir. Há também a conservação do quadrimomento em todo o processo, evidenciado pela função delta. Em (28) temos o elemento de matriz que descreve a interação entre as partículas. Há três termos referentes ao elétron, na esquerda, referentes ao múon, na direita. Eles estão associados ao que ocorre nos vértices do diagrama de Feynman que representa este processo, conforme mostra a figura 3. Há ainda um termo $-ig_{\mu\nu}/q^2$ , referente ao fóton que é transmitido de uma partícula para a outra. Este termo é denominado propagador. O quadrimomento do fóton,

é determinado pela conservação do quadrimomento total. O processo como todo tem intensidade proporcional à carga do elétron ao quadrado (que é a mesma carga do múon), ou seja, é proporcional à constante de estrutura fina $\alpha$ . Neste caso, podemos dizer que cada vértice contribui com uma intensidade, na transição, de $\sqrt{\alpha}$ e, pelo processo como um todo ser proporcional à $\alpha$ dizemos que este é um diagrama de primeira ordem.n
n
nn

nFigura 3 – Identificação dos termos do elemento de matriz no diagrama de Feynman.nn
n
nNote que calculamos, essencialmente a amplitude de transição de um estado para outro. A probabilidade de transição é essencialmente $P_{(if)} = |T_{if}|^2$ . Da mesma forma, definimos que a taxa de transição por unidade de volume domo sendo $W_{(if)} = P_{(if)}/TV$ . Acontece que não se mede taxas de transição. O que se mede são seções de choque ou vidas médias de decaimento. Seção de choque para um determinado processo é definida como:nn
n n n n n n

$d\sigma = \frac{dN/dt}{\mathfrak{L}}$

n nnonde, neste caso, $\mathfrak{L}$ é o fluxo de partículas incidente (também chamada luminosidade) e dN/dt

é o número de partículas observadas por unidade de tempo no detector. Podemos relacionar a expressão acima com a taxa de transição através de:nn
n n n n n n

$d\sigma = \frac{W_{(if)}}{\mathfrak{L}}(\text{densidade de estados finais})$

n nnE devemos calcular cada um destes termos. Vamos inicialmente calcular $W_{(if)}$ , observado que os estados devem ser normalizados no volume que estamos calculando, ou seja, $N=1/\sqrt{V}$ . Deste modo:nn
n n n n n n

$W_{(if)} = \frac{|T_{if}|^2}{TV}$

n nnNeste caso devemos aplicar um truque, voltando alguns passos, na integral que fizemos na eq. (25). Como $T_{if}$ aparece quadraticamente, temos duas destas integrais. Uma delas vai resultar em $(2\pi)^4 \delta(p)$ . A outra pode ser trabalhada, resultando em

, que cancela com um desses termos. Deste modo:nn
n n n n n n

$W_{(if)} = (2\pi)^4 \frac{\delta^{(4)}(p_C+p_D - p_A - p_B)}{V^4}|\mathfrak{M}|^2$

n nnAgora devemos calcular o número de estados finais e a luminosidade (fluxo) incidente. Para isto, suponha uma caixa de lado

, isto é,

. Em uma das direções, a função de onda da partícula pode ser descrita como $\phi = e^{-i p x}$ , sendo nula em x=0

. Neste caso, $p = 2\pi n/L$ , com

inteiro. Ou seja, os momentos são discretos com separação entre eles dada por $2\pi /L$ . Em um intervalo

, cabem então $dp/(2\pi /L) = Ldp/(2\pi)$ partículas. Sendo assim, considerando uma caixa cúbica, o número de partículas que cabem em um determinado volume para um intervalo de momento pode ser dado por:nn
n n n n n n

$n = L \frac{dp_x}{2\pi} \times L \frac{dp_y}{2\pi} \times L \frac{dp_z}{2\pi} = V\frac{d^3p}{(2\pi)^3}$

n nnPara calcular a densidade de estados finais precisamos saber o número total de partículas no volume V. Lembrando que a densidade de partículas é dada por:nn
n n n n n n

$\rho = 2E|N|^2$

n nnÉ fácil ver, por conta da normalização da funções de ondas que cabem, em um volume V, 2E partículas. Assim, a densidade de partículas é:nn
n n n n n n

$d = V\frac{d^3p}{(2\pi)^3 2E}$

n nnNo estado final, temos as partículas C e D, disponíveis. Sendo assim, a densidade de estados finais é facilmente calculada como:nn
n n n n n n

$(\text{densidade de estados finais}) = V\frac{d^3p_C}{(2\pi)^3 2E_C} \times V\frac{d^3p_D}{(2\pi)^3 2E_D}$

n nnO fluxo incidente pode ser calculado em uma situação onde a partícula A está se movendo e B, em repouso (referencial do laboratório). Neste caso, o fluxo de partículas incidentes é |v_A|2E_A/V

enquanto o número de partículas por volume de B é 2E_B/V

. Deste modo, podemos escrever que:nn
n n n n n n

$d\sigma = (2\pi)^4 \frac{\delta^{(4)}(p_C+p_D - p_A - p_B)}{V^4}|\mathfrak{M}|^2 \frac{Vd^3p_C}{(2\pi)^3 2E_C} \frac{Vd^3p_D}{(2\pi)^3 2E_D} \frac{V}{|v_A|2E_A} \frac{V}{2E_B}$

n nnOs volumes se cancelam e podemos reorganizar os termos de modo a escrever que a seção de choque é dada por:nn
n n n n n n

$d\sigma = \frac{|\mathfrak{M}|^2}{F}dLips$

n nncom:nn
n n n n n n

n nne dLips

como sendo um número que estabelece o tamanho do espaço de fase, e vale:nn
n n n n n n

$dLips = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_C+p_D - p_A - p_B) \frac{d^3p_C}{(2\pi)^32E_C} \frac{d^3p_D}{(2\pi)^32E_D}$

n nnÉ fácil ver, da expressão acima, se o estado final for composto de mais de duas partículas, basta incluir termos de densidade de estados para cada partícula a mais. Tanto dLips

quando

são fatores geométricos para estabelecer a grandeza medida. Toda a física está contida na amplitude de transição $\mathfrak{M}$ .n
n

Leitura recomendada

Capítulo 4 do livro “Quarks & Leptons”, Francis Halzem e Alan Martin.n
Capítulo 6 do livro “Introduction to Elementary Particles”, D. Griffths.n

Exercícios

Mostre que no centro de massas para uma reação $A+B\rightarrow C+D$ n $dLips = \frac{1}{4\pi^2}\frac{p_f}{4\sqrt{s}}d\Omega$ n $F=4p_i\sqrt{s}$ nonde $d\Omega$ é o elemento de ângulo sólido, e no centro de massa.n
No espalhamento elétron – elétron há dois diagramas de Feynman que contribuem para o processo em primeira ordem, já que não conseguimos distinguir as partículas C e D. Desenhe estes diagramas e calcule $\mathfrak{M}$ como sendo a soma das amplitudes para cada diagrama. Mostre que podemos escrever que:
n
n $\mathfrak{M} = e^2\left(\frac{u-s}{t} + \frac{t-s}{u}\right)$ n
n
n
Repita o exercício anterior para o caso do espalhamento elétron-pósitron. Neste caso há também dois diagramas, um de espalhamento e outro de aniquilação e posterior conversão do fóton de aniquilamento em um par elétron pósitron. Para o pósitron, considere-o como uma partícula viajando ao passado e, neste caso, o quadrivetor momento tem sinal invertido ao que fizemos nesta aula. Mostre que:
n
n $\mathfrak{M} = e^2\left(\frac{s-u}{t} + \frac{t-u}{s}\right)$ n
n
n
Define-se a largura de decaimento $\Gamma$ como sendo a probabilidade por unidade de tempo de uma partícula desintegrar, ou seja $\Gamma = \frac{dN/dt}{N}$ onde é o número de partículas em uma amostra. Seguindo argumentos muito similares ao que deduzimos para a sessão de choque, mostre que, em um decaimento $A \rightarrow 1+2+3+...$ que:
n
n $\Gamma = \frac{1}{2E_A}|\mathfrak{M}|^2 dLips$ nn
Em um decaimento de dois corpos, $A\rightarrow 1+2$ , mostre que integrando sobre todas as direções de momento das partículas 1 e 2 no centro de massa da partícula A que:
n
n $\Gamma = \frac{p_f}{32\pi^2 m_A^2}\int{|\mathfrak{M}|^2 d\Omega}$ n

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Calculando diagramas de Feynman – "eletrodinâmica" com spin 0

Leitura recomendada

Exercícios

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