Eletrodinâmica com spin 1/2 – Regras de Feynman

nnVersão para impressãon nn Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.n nn O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. n

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nNo cálculo de um diagrama de Feynman temos que considerar dois aspectos importantes: primeiramente o espaço de fase envolvido, tanto inicial quanto final. Estes são importantes nos cálculos se seções de choque e de taxas de decaimento, por exemplo. Contudo, são aspectos quase que geométricos e de contabilidade. Um segundo aspecto é o cálculo do elemento de matrix $\mathfrak{M}$ , que contém as informações sobre os processos físicos, e é obtido a partir do conhecimento do tipo de interação envolvida no diagrama. Para um caso simples, de uma interaçào eletromagnética que não envolve spin das partículas, nós obtivemos, por exemplo, que:nn
n n n n n n

$-i\mathfrak{M} = (-ie)(p_A+p_C)^\mu \left( -i\frac{g_{\mu\nu}}{q^2}\right) (-ie)(p_B+p_D)^\nu$

n nnNesta expressão, fomos capazes de separar os termos em três componentes: duas delas estabelecem as condições nos vértices do diagrama e um terceira, nós denominamos de propagador, que serve para conectar dois vértices relacionados. Estas expressões foram obtidas a partir da eq. de Klein-Gordon e, neste caso, desconsidera o spin das partículas. Do ponto de vista do eletromagnetismo, o spin tem papel importante na interação eletromagnética por conta dos momentos de dipolo magnético destas partículas. Não considerar o spin, por exemplo, considera apenas a interação eletromagnética devida à carga elétrica da partícula. Para um tratamento adequado, considerando spin das partículas, devemos partir da eq. de Dirac. Neste caso, novos vértices serão computados, bem como novos propagadores que, ao final desta discussão, servirão de base para construção das regras de Feynman para cálculo de diagramas, o que evita a resolução, caso a caso, das equações de Klein-Gordon e Dirac.
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nPodemos escrever que a equação de Dirac para uma partícula livre é dada pornn
n n n n n n

$(\gamma_\mu p^\mu -m)\psi = (i\gamma_\mu \partial^\mu -m)\psi = 0$

n nne, para uma partícula livre, o campo $\psi$ tem a forma:nn
n n n n n n

$\psi(\vec r) = u(p) e^{-i p_\mu x^\mu}$

n nnonde u(p)

é um vetor de quatro dimensões. Nós já discutimos que, a presença de uma interação eletromagnética é obtida por uma substituição do tipo $P^\mu \rightarrow p^\mu + e A^\mu$ . Neste caso, podemos reescrever a equação de Dirac como sendo:nn
n n n n n n

$(\gamma_\mu (p^\mu + e A^\mu) -m)\psi =0$

n nn
n n n n n n

$(\gamma_\mu p^\mu -m)\psi = -e\gamma_\mu A^\mu \psi$

n nnonde é possível localizar, em analogia ao que fizemos no caso da eq. de Klein-Gordon, o potencial de interação $-e\gamma_\mu A^\mu$ , que podemos utilizar para calcular a amplitude da transição do estado inicial para o final.nn
n n n n n n

$T_{fi} = -i\int_{0}^{t}{\langle e_j^0|V|e_i^0\rangle e^{i\omega_{ij}t^\prime}dt^\prime}$

n nnNeste caso:nn
n n n n n n

$T_{fi} = ie\int{\psi_f^\dagger \gamma_\mu A^\mu \psi_i }d^4 x} = -i\int{j_\mu^{(fi)} \gamma_\mu A^\mu }d^4 x}$

n nnsendo $j_\mu^{(fi)} = -e\psi_f^\dagger \gamma_\mu \psi_i$ , a densidade de corrente. Se tomarmos a equação (3) para descrever os estados inicial e final da partícula sujeita à ação do campo eletromagnético, podemos escrever que:nn
n n n n n n

$j_\mu^{(fi)} = -e\bar u_f \gamma_\mu u_i e^{i(p_f-p_i)_\mu x^\mu}$

n nnque tem o mesmo jeitão do que deduzimos para partículas de spin nulo (tomando as normalizações como unitárias), $j_\mu^{(fi)} = -e (p_i + p_f)_\mu e^{i(p_f-p_i)_\mu x^\mu}$ . Se nós seguirmos os mesmos raciocínios utilizados anteriormente, nós podemos escrever que o elemento de matriz para um espalhamento de primeira ordem entre duas partículas é dado por:nn
n n n n n n

$-i\mathfrak{M} = (ie\bar u_C \gamma^\mu u_A) \left( -i\frac{g_{\mu\nu}}{q^2}\right) (ie\bar u_D \gamma^\nu u_B)$

n nnenn
n n n n n n

$T_{fi} = -i (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_C+p_D - p_A - p_B) \mathfrak{M}$

n nnA similaridade entre os resultados obtidos aqui com os obtidos previamente para partículas sem spin é enorme. Podemos visualizá-los graficamente na figura 1. Para partículas sem spin, assumindo que a normalização é unitária, o que não é problema já que os volumes se cancelam, como vimos anteriormente, cada linha incidente contribui com peso 1 enquanto que, no caso com spin, cada linha contribui com um peso dado pelo espinores

para partículas incidentes e $\bar u$ para partículas emergentes. Há uma diferença no fator de acoplamento nos vértices que, no caso com spin, é dado por uma matriz que acopla o estado inicial ao final. Os propagadores, nestes casos, são idênticos, uma vez que eles surgem da resolução da eq. de Maxwell $\square^2 A^\mu = j^\mu$ .n
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nFigura 1 – Representação do elemento de matriz de transição nos diagramas de Feynman para sistemas sem e com spin.nn
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nnPode-se ver que parece haver uma estrutura “gráfica” para a construção de elementos de matriz para interações através de diagramas de Feynman. Contudo, nos restringimos, até o momento, a léptons como partículas externas e a fótons como propagadores. Há muito mais opções para partículas mensuráveis, além de léptons, e para propagadores. Vamos, inicialmente, discutir o caso de um fóton, seja como partícula incidente ou emergente da interação e, em seguida, discutiremos alguns aspectos acerca de propagadores.n
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nA função de onda para um fóton satisfaz a equação:nn
n n n n n n

$\square^2 A^\mu = 0$

n nnCuja solução é trivial é: nn
n n n n n n

$A^\mu = \epsilon^\mu(q)e^{-iq_\mu x^\mu}$

n nnSubstituindo esta solução na equação acima é fácil estabelecer que a condição para esta solução satisfazer a equação para o fóton é q^2=0

, o que só é verdade no caso da massa do fóton ser nula. O quadrivetor $\epsilon$ , que depende do momento do fóton

é chamado de polarização do fóton. Sabemos de eletrodinâmica que o fóton possui dois estados de polarização e elas devem ser transversais ao momento do fóton (lembre-se que o campo elétrico e magnético são transversais à direção de propagação da onda eletromagnética) mas o quadrivetor polarização possui quatro componentes. Contudo, duas destas componentes podem ser escolhidas arbitrariamente devido à vínculos impostos no eletromagnetismo. Por exemplo, utilizando a condição de que $\vec \epsilon \cdot \vec q = 0$ , escolhendo o eixo-z como a direção do vetor momento do fóton, podemos automaticamente dizer que a terceira componente do vetor polarização do fóton deve ser nula para satisfazer esta condição. Além desta condição, o calibre de Lorentz do potencial vetor que faz com que:nn
n n n n n n

$\partial_\mu A^\mu = 0$

n nn
n n n n n n

$\partial_\mu (\epsilon^\mu e^{-iq_\mu x^\mu}) = 0 \rightarrow q_\mu \epsilon^\mu e^{-iq^\mu x_\mu} = 0 \rightarrow q_\mu \epsilon^\mu = 0$

n nnQue, da nossa escolha para a direção do vetor $\vec q$ , só é verdadeira se a componente temporal do quadrivetor polarização do fóton for nula. Neste caso, o quadrivetor polarização é escrito como:nn
n n n n n n

$\epsilon^\mu = (0,\vec \epsilon_i)$

n nncom:nn
n n n n n n

$\vec \epsilon_1 = (1,0,0) \text{ ou } \vec \epsilon_2 = (0,1,0)$

n n nNote como a eq. (12) é similar à eq. (3). No caso da equação (3) os espinores

são os pesos atribuídos aos férmions externos. No caso do fóton, este peso são os quadrivetores de polarização $\epsilon$ . Contudo, como já discutimos, um fóton não acopla a outro fóton. Os vértices da QED sempre envolvem um fóton com duas partículas carregadas. Para um fóton ser uma partícula externa é necessário que haja propagadores que sejam outras partículas que não o fóton. Neste caso, precisamos discutir um pouco como obter formas para outros propagadores que não sejam o fóton.n
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nTecnicamente, propagadores correspondem à amplitude de probabilidade de uma partícula se mover de um ponto para outro com uma certa energia e momento. Neste sentido, propagadores correspondem a funções de Green para o operador que descreve a evolução da partícula. Seja, por exemplo, uma partícula sujeita a um potencial de tal forma que o seu estado possa ser descrito pela equação:nn
n n n n n n

$(H_0 - E) \psi(x) = -V(x)\psi(x)$

n nnA equação acima pode ser resolvida através do método da função de Green, na forma:nn
n n n n n n

$\psi(x) = \psi_i(x) -i \int{dx$

n nnonde $\psi_i(x)$ corresponde à solução da equação para a partícula livre $H_0 \psi(x) = 0$ .nnA função de Green G(x-x

pode ser obtida simplesmente resolvendo a equação:nn
n n n n n n

n nnA representação desta função de Green no espaço de momentos pode ser obtida através da transformada de Fourier:nn
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$G(p) = \int{dx e^{ipx}G(x)}$

n nne, que satisfaz a equação:nn
n n n n n n

$(H_0 - E) G(p) = i \rightarrow G(p) = \frac{i}{H_0-E}$

n nnMuito bacana esta descrição mas como eu posso checar se isto é de fato o propagador do diagrama de Feynman? O próprio Feynman descreveu como deveria ser o seu propagador de uma forma bastante elegante. Note um diagrama qualquer de primeira ordem, como os da figura 1. Neste diagrama há dois vértices e, consequentemente, Feynman interpretou que a presença destes dois vértices faria com que a descrição deste diagrama pudesse ser descrita pelo termo de segunda ordem em teoria de perturbação dependente do tempo. Nesta ordem, podemos escrever que (lembre-se que estamos tomando valores assintóticos, então as integrais no tempo vão a infinito):nn
n n n n n n

$a_j^{(2)} = -i^2 \int{\int{\sum_m{\langle e_j|\hat V_I(t$

n nnonde $V_I(t) = e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}$ . Substituindo em (22), e fazendo as integrais, é fácil obter que:nn
n n n n n n

$a_j^{(2)} = 2\pi \delta(E_f - E_i) \sum_m{\langle e_j|\hat V |e_m\rangle \frac{i}{E_m - E_i} \langle e_m|\hat V|e_i\rangle}$

n nnNote a estrutura desta expressão. Há os dois termos nos extremos, que estão relacionados às interações nos vértices e a soma sobre todos os estados intermediários m. A transição de um vértice ao outro é feita através de i/(E_m-E_i)

, que pode ser indentificado como sendo o propagador de um vértice ao outro. E_i

é a energia inicial, fixa. Contudo, E_m

corresponde às energias dos estados intermediários e são os autovalores de nn nestes estados intermediários. Em termos de operadores, o propagador pode ser escrito justamente como mostrado em (21).
n
nSendo assim, vamos calcular alguns propagadores. Para uma partícula de massa m, sem spin, a sua evolução é dada pela equação de Klein-Gordon $(\square^2-m^2)\psi = -V\psi$ , que nos faz identificar, em comparação à (17) que o propagador, neste caso é:nn
n n n n n n

$\frac{i}{\square^2-m^2} \rightarrow \frac{i}{p^2-m^2}$

n nnNo caso de uma partícula de spin 1/2, sujeita à eq. de Dirac $(\gamma_\mu p^\mu - m)\phi = -V\phi$ , o propagador é:nn
n n n n n n

$\frac{i}{\gamma_\mu p^\mu - m} = \frac{i(\gamma_\mu p^\mu + m)}{(\gamma_\mu p^\mu - m)(\gamma_\mu p^\mu + m)} = \frac{i(\gamma_\mu p^\mu + m)}{p^2-m^2} = \frac{i}{p^2-m^2}\sum_{spin}{u \bar u}$

n nnConhecendo os propagadores, os termos multiplicativos nos vértices e como pesar as partículas reais podemos construir uma série de regras práticas para construir os elementos de matriz de um diagrama qualquer na QED (na QCD, por exemplo, os fatores são diferentes mas as regras são as mesmas). Na figura 2 mostramos um resumo dos vários termos discutidos até o momento.n
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nFigura 2 – Resumo das regras de Feynman.nn
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nnConstruir um elemento de matriz a partir de um diagrama de Feynman pode ser feito seguindo a receita:n
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Para cada linha externa associe um momento indicando a direção, se é uma partícula ou antipartícula.n
Decida então, de acordo com a figura 2, a contribuição (peso) de cada uma destas linhas.n
Para cada vértice, coloque o seu fator correspondente (ver figura 2).n
Identifique e escreva os propagadores.n
Para cada vértice coloque uma função delta $(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2+p_3)$ n
Faça a integral sobre os momentos internos dos propagadores com um fator $d^4q/(2\pi)^4$ .n
Reagrupe as funções delta por conta das integrações de momento.n

nNestas regras é muito importante estar atento a ordem de agrupamento dos fatores, já que muitos não são comutativos. Este procedimento vai ficar claro nos exemplos na próxima aula.n
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Leitura recomendada

Capítulo 7 do “Introduction to elementary particles”, D. Griffths.n
Capítulo 6 do “Quarks & Leptons”, F. Halzen e A. Martin.n

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Exercícios

Mostre (23)n

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Eletrodinâmica com spin 1/2 – Regras de Feynman

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