O deuteron

Vamos estudar em detalhes o dêuteron. A partir da construção de um modelo simples para a interação entre próton e nêutron, comparando os resultados desse modelo com medidas experimentais de elevada precisão, tentaremos inferir propriedades sobre as forças nucleares fortes que tornam o núcleo estável.

Vamos inicialmente listar algumas informações experimentais sobre o dêuteron. Como elas são determinadas em detalhes não vêm ao caso nesse momento:

Energia de ligação do dêuteron: medidas indicam que só há um estado ligado do dêuteron com energia de ligação $E_B = 2.22464 \pm 0.00005$ MeV. Alguns métodos de medidas foram discutidos anteriormente.
Raio o dêuteron: medidas de espalhamento de elétrons indicam que o raio do dêuteron é aproximadamente 2.1 fm.
Momento angular e paridade: medidas através de métodos ópticos e micro-ondas indicam que o momento angular total do dêuteron é $J=1$ . Através de medidas de desintegrações nucleares, através da conservação da paridade e comparação com modelos teóricos, mostram que o dêuteron deve possuir função de onda par.
Momento de quadrupolo elétrico: Medidas realizadas na década de 1930 mostraram que o dêuteron é um núcleo prolato ao longo do seu eixo de spin, com momento de quadrupolo elétrico $Q = 0.00282$ barns.
Momento de dipolo magnético: O momento de dipolo magnético do dêuteron pode ser obtido através de métodos de ressonância magnética, na qual pode-se ajustar um campo magnético oscilante de frequência igual à frequência de Lamour para o dêuteron. A frequência de Lamour está relacionada diretamente ao momento de dipolo magnético que, nesse caso, vale $\mu_d = (0.857393 \pm 0.000001)\mu_N$ , onde $\mu_N$ é o magneton nuclear.

Com base nessas informações vamos tentar construir um modelo realista, porém simples, para o dêuteron.

Primeiramente vamos olhar o momento de dipolo magnético. A soma do momento de dipolo do próton e nêutron vale $\mu_p + \mu_n = 0.8797 \mu_N$ , muito próximo ao valor para o dêuteron. Essa soma simples sugere que os spins do próton e nêutron devam, em primeira aproximação, estar alinhados e que o momento angular orbital entre eles seja muito pequeno, $\ell \sim 0$ . Contudo, a elevada precisão das medidas experimentais tornam essa soma incompatível com o valor medido. Vamos retomar isso mais a frente. Contudo, vamos usar que essa relação é aproximadamente satisfeita como ponto de partida.

Vamos resolver a Equação de Schrödinger no centro de massa do sistema próton-nêutron. Sendo $\mu$ a massa reduzida desse sistema, temos:

$\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r)\right)\psi = E\psi$ (1)

Supondo que o potencial é central, podemos escrever a função de onda como sendo o produto de uma função radial por uma função que depende dos ângulos polar e azimutal, ou seja:

$\psi(r,\theta, \phi) = \frac{u_{\ell}(r)}{r}Y_{\ell m}(\theta,\phi)$ (2)

Nessa separação de variáveis, conserva-se o momento angular orbital relativo entre as partículas. A parte angular possui solução trivial (harmônicos esféricos) enquanto a parte radial contém toda informação acerca do potencial. Nesse caso, para entender a interação entre as partículas, precisamos resolver a equação radial:

$\frac{d^2}{dr^2}u_{\ell} + \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r) - \frac{\hbar^{2}\ell(\ell+1)}{2\mu r^2}\right) u_{\ell} = 0$ (3)

O potencial mais simples que podemos utilizar para o dêuteron é um poço quadrado radial, ou seja:

(4)

O fato dele do potencial ser infinito a curtas distâncias representa a saturação da densidade nuclear, como visto no início da disciplina. A proximidade do momento de dipolo magnético do dêuteron com a soma dos momentos do próton e nêutron, como vimos, sugere que o momento angular relativo seja nulo. Assim, fazendo $\ell = 0$ em (3) temos a seguinte equação:

$\frac{d^2}{dr^2}u + \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r)\right) u = 0$ (5)

Vamos resolver esse sistema para o estado fundamental do dêuteron, ou seja, $E = -E_B$ . Definindo $k^2(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( -E_B - V(r)\right)$ , podemos escrever a equação (5) como:

$\frac{d^2}{dr^2}u + k^2(r) u = 0$ (6)

A equação (6) pode ser separada em duas, dependendo da região do potencial: ou seja, para $r<R$ (região I):

$\frac{d^2}{dr^2}u + k^2_I u = 0$ (7)

e, para $r>R$ (região II):

$\frac{d^2}{dr^2}u - k^2_{II} u = 0$ (8)

com $k^2_I = \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( V_0 - E_B \right)$ e $k^2_{II} = \frac{2\mu}{\hbar^2}E_B$ . As soluções de (7) e (8), considerando que $u(0)=0$ são, respectivamente:

$\begin{array}{l} u_I(r) = A \sin{(k_Ir)} \ \ u_{II}(r) = B\exp{(-k_{II}r)} \ \end{array}$ (9)

Aplicando as condições de contorno em $r=R$ para a continuidade da função de onda e sua derivada, temos:

$\begin{array}{l} Ak_I\cos(k_IR) = -Bk_{II}\exp(-k_{II}R) \ \ A\sin(k_IR) = B\exp(-k_{II}R) \ \end{array}$ (10)

Dividindo as duas equações temos:

$k_I \cot(k_IR) = -k_{II}$ (11)

Resolvendo numericamente ou graficamente (11), usando os dados experimentais para $E_B$ e $R$ , obtemos que o valor da profundidade do poço de potencial é $V_0 \sim 34$ MeV. Pode-se mostrar (exercício) que não existe outro estado ligado para o dêuteron com momento angular nulo. Nesse caso, pode-se inferir que em outros momentos angulares a situação torna-se pior por conta do potencial centrífugo que surge quando o momento angular não é nulo.

Nós já vimos, contudo, que o estado ${}^{3}S_1$ sozinho (ver início das notas) não consegue explicar o momento de dipolo magnético do dêuteron, apesar de fornecer um valor próximo. Pode-se argumentar que $g_s$ seja diferente para o estado ligado desses nucleons mas esse estado também não consegue explicar o modelo de quadrupolo elétrico experimental do dêuteron. Assim, vamos tentar construir uma função de onda para o dêuteron através de uma mistura de estados de momento angular, impondo a restrição que o momento angular total observado para esse estado ligado é $J=1$ . As possíveis combinações de momento angular e spin para $J=1$ são:


      
 (12)

Pelo fato do dêuteron possuir paridade definida, podemos misturar apenas estados de mesma paridade. Assim, as possíveis combinações são ${}^{3}S_1$ e ${}^{3}D_1$ (estados pares) ou ${}^{1}P_1$ e ${}^{3}P_1$ (paridade ímpar). Sabemos que o estado S pode explicar grande parte do momento de dipolo magnético. Assim, vamos explorar apenas a primeira combinação possível.

O problema consiste em achar a função de onda para essa combinação de estados. Nós sabemos as funções de onda para estados bem definidos $|\ell\, m_{\ell}\, s\, m_s\, \rangle$ , que são harmônicos esféricos ou matrizes de Pauli para estados de spin 1/2. Contudo, sabemos que o estado do dêuteron é definido pela função de onda $|\ell\, s\, J\, m_J\rangle$ . Assim, devemos escrever essa última como combinação de estados das outras. Além disso devemos considerar que o estado de spin do dêuteron consiste na soma do spin de dois nucleons. Para a combinação de estado S e D, temos que o spin total é sempre 1. Nesse caso, antes de encontrar a função de onda total com $J=1$ vamos encontrar apenas a parte de spin. Nesse caso, queremos encontrar o estado de spin $|s_p\, s_n\, S\, m_S\rangle = |\tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1 m_S\rangle$ . Para $S=1$ , podemos ter três funções de onda distintas que correspondem a $m_S=-1,0,1$ . Em linhas gerais, usando o formalismo de somas de momento angular, podemos escrever que um estado de soma de spins é a soma de todos os estados possíveis de spins individuais, ponderados pelos coeficientes de Clebsh-Gordam correspondentes, ou seja:

$| s_p\, s_n\, S\, m_S\rangle = \sum_{m_s^p,m_s^n}{C^{S\, m_S}_{s_p\, m_s^p\, s_n\, m_s^n} |s_p\, m_s^p\rangle |s_n\, m_s^n\rangle$ (13)

Para o estado $| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 1\rangle$ só há uma combinação de soma possível, nesse caso:

$| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 1 \rangle = |p\, \tfrac{1}{2}\,\tfrac{1}{2}\,\rangle |n\, \tfrac{1}{2}\,\tfrac{1}{2}\,\rangle = u_p u_n$ (14)

Similarmente para o estado $| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, -1\rangle$ :

$| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, -1 \rangle = |p\, \tfrac{1}{2}\,{\tiny -}\tfrac{1}{2}\,\rangle |n\, \tfrac{1}{2}\,\tiny{-}\tfrac{1}{2}\,\rangle = d_p d_n$ (15)

No qual definimos uma notação mais simples $u = |\tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\rangle$ e $d = |\tfrac{1}{2}\, -\tfrac{1}{2}\rangle$ , em analogia ao spin up e spin down. No caso do estado $| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 0\rangle$ , há duas possibilidades de combinação de spins. Nesse caso, consultanto tabelas de coeficientes de acoplamento de momento angular, podemos escrever que:

$| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(u_p d_n + d_p u_n)$ (16)

As equações (14), (15) e (16) representam as três combinações possíveis de estados tripletos de spin ( $S=1 \rightarrow 2S+1=3$ ). O momento angular total pode ser obtido, para os estados ${}^{3}S_1$ e ${}^{3}D_1$ , acoplando os estados de momento angular orbital com as funções de onda de spin total.

Para o estado ${}^{3}S_1$ a situação é bem simples. Como o momento de dipolo magnético é calculado na situação $m_J=J$ , e como a onda com $\ell=0$ não é degenerada, há apenas uma combinação possível. Assim:

$| {}^{3}S_1 \rangle = Y_{0\,0} u_p u_n$ (17)

Para o estado ${}^{3}D_1$ , os únicos termos que contribuem para $m_J=1$ compõem o seguinte estado:

$| {}^{3}D_1 \rangle = \sqrt{\frac{3}{5}}Y_{2\,2} d_p d_n -\sqrt{\frac{3}{10}}Y_{2\,1}\frac{1}{\sqrt{2}}(u_p d_n + d_p u_n) +\sqrt{\frac{1}{10}}Y_{2\,0} u_p u_n$ (18)

Como visto anteriormente, o operador de momento de dipolo magnético pode ser escrito como um termo orbital, que atua somente sobre o próton e um termo de spin, atuando sobre próton e nêutron. Assim,

$\mu_z = (g_{\ell}\ell_z^p + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N$ (19)

Como o momento angular do próton é metade do momento angular relativo no centro de massa, temos:

$\mu_z = (\frac{1}{2}g_{\ell}\ell_z + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N$ (20)

A contribuição de momento de dipolo para o estado ${}^{3}S_1$ vale:

$\langle {}^{3}S_1 | (\frac{1}{2}g_{\ell}\ell_z + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N | {}^{3}S_1 \rangle = \frac{1}{2} (g_s^p + g_s^n)\mu_N = 0.88\mu_N$ (21)

O mesmo pode ser feito para o estado ${}^{3}D_1$ , obtendo-se o resultado $0.31\mu_N$ (exercício). O momento de dipolo magnético experimental do dêuteron é $\sim 0.857\mu_N$ , intermediário entre os valores desses dois estados pares. Assim, podemos admitir que a função de onda do dêuteron é uma combinação desses dois estados, ou seja:

$|d\rangle = C_{{}^3S_1}|{}^3S_1\rangle + C_{{}^3D_1}|{}^3D_1\rangle$ (22)

onde:

$\langle d| \mu_z |d\rangle = C^2_{{}^3S_1}0.88\mu_N + C^2_{{}^3D_1}0.31\mu_N = 0.857\mu_N$ (23)

Considerando que a função de onda do dêuteron deve ser normalizada, ou seja $\langle d|d \rangle = 1$ , chega-se ao resultado $C^2_{{}^3S_1} = 0.96$ e $C^2_{{}^3D_1} = 0.04$ .

Resultado similar pode ser obtido considerando o momento de quadrupolo elétrico (exercício). Contudo, o importante desse trabalho é concluir que o dêuteron é formado da combinação de dois estados de momento angular orbital diferentes, apesar da contribuição de $\ell=2$ ser bastante pequena. Isso terá consequências importantes no entendimento das forças nucleares. O dêuteron não é um estado de momento angular orbital único. Assim, momento angular orbital não é uma constante de movimento. Veremos o efeito disso a seguir.

Exercícios

Mostre que, no caso do dêuteron, considerando o potencial de interação com profundidade de 34 MeV e raio igual ao raio do dêuteron, há somente um estado ligado.
Mostre que uma combinação de estados ${}^3P_1$ e ${}^1P_1$ não é capaz de explicar o momento de dipolo magnético do dêuteron.
Mostre que $\langle {}^{3}D_1|\mu_z|{}^{3}D_1\rangle = 0.31\mu_N$ . Dica: Obtenha a função de onda de spin para o estado $| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 0\, 0\rangle$ . Esse estado aparece quando se calcula esse valor esperado.
Obtenha a fração de mistura de estados ${}^{3}S_1$ e ${}^{3}D_1$ a partir do cálculo de momento de quadrupolo elétrico. Compare com o resultado obtido nessa aula.