{"id":159,"date":"2024-09-14T18:32:50","date_gmt":"2024-09-14T21:32:50","guid":{"rendered":"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/?p=159"},"modified":"2024-09-14T18:34:34","modified_gmt":"2024-09-14T21:34:34","slug":"o-espalhamento-rutherford","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2024\/09\/14\/o-espalhamento-rutherford\/","title":{"rendered":"O espalhamento Rutherford"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

A seguir vamos calcular a trajet\u00f3ria percorrida por part\u00edculas \u03b1 segundo o modelo de Rutherford. Um esquema da trajet\u00f3ria de uma part\u00edcula pode ser visto na figura abaixo.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Figura 1 – Trajet\u00f3ria de part\u00edculas \u03b1 em v\u00e1rios par\u00e2metros de impacto sendo espalhadas por um n\u00facleo de n\u00famero at\u00f4mico\u00a0Z<\/em>.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

A Lagrangeana para para o sistema acima pode ser obtida atrav\u00e9s de: <\/p>\n\n\n\n

\"L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) - V(x,y,z)\"     (1)<\/p>\n\n\n\n

Para um sistema no qual o potencial \u00e9 central, o problema pode ser tratado como planar e podemos escrever a Lagrangeana em coordenadas polares, ou seja: <\/p>\n\n\n\n

\"L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{ \theta }^2) - V(r)\"     (2)<\/p>\n\n\n\n

No caso do modelo de Rutherford, podemos escrever que a energia potencial vale: <\/p>\n\n\n\n

\"V(r)=\frac{Z_{1}Z_{2}e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r} = \frac{k}{r}\"     (3)<\/p>\n\n\n\n

A partir da equa\u00e7\u00e3o de Lagrange para for\u00e7as conservativas: <\/p>\n\n\n\n

\"\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j}\"\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(4)<\/p>\n\n\n\n

Com \"(q_1,q_2)=(r,\theta)\", podemos escrever que: <\/p>\n\n\n\n

\"\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0\"     (5) <\/p>\n\n\n\n

\"m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + \frac{k}{r^2}\"     (6)<\/p>\n\n\n\n

Da equa\u00e7\u00e3o (5), podemos dizer que a quantidade \"\ell = mr^2\dot{\theta}\" \u00e9 conservada durante o movimento. Essa quantidade \u00e9 o momento associado \u00e0 vari\u00e1vel \u03b8 e corresponde ao momento angular do sistema. Substituindo \"\ell\" na equa\u00e7\u00e3o (6), temos que: <\/p>\n\n\n\n

\"m\ddot{r} = \frac{\ell^2}{mr^3} + \frac{k}{r^2}\"    (7)<\/p>\n\n\n\n

A equa\u00e7\u00e3o acima pode ser resolvida ap\u00f3s alguma manipula\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica. Primeiramente multiplicamos a equa\u00e7\u00e3o acima por \"\dot{r}\"e usamos as seguintes rela\u00e7\u00f5es: <\/p>\n\n\n\n

\"m\ddot{r}\dot{r} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2)\"     (8) <\/p>\n\n\n\n

\"\dot{r}(\frac{\ell^2}{mr^3} + \frac{k}{r^2}) = \frac{d}{dt}( -\frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} - \frac{k}{r})\"     (9)<\/p>\n\n\n\n

Substituindo as express\u00f5es (8) e (9) em (7), chega-se a: <\/p>\n\n\n\n

\"\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} + \frac{k}{r} ) = 0\"     (10)<\/p>\n\n\n\n

ou seja, a quantidade que est\u00e1 sendo derivada acima \u00e9 uma constante do movimento. Essa quantidade \u00e9 a energia total do sistema, ou seja: <\/p>\n\n\n\n

\"\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} + \frac{k}{r} = E\"     (11)<\/p>\n\n\n\n

H\u00e1 v\u00e1rias t\u00e9cnicas para resolver a equa\u00e7\u00e3o (11) e obter a depend\u00eancia temporal de r<\/em>. Contudo, em experimentos realizados em f\u00edsica nuclear, n\u00e3o se mede trajet\u00f3rias durante a intera\u00e7\u00e3o. Mede-se valores assint\u00f3ticos dessas trajet\u00f3rias, como \u00e2ngulos de espalhamento. Isso \u00e9 devido ao fato dos detectores estarem posicionados \u00e0 dist\u00e2ncias extremamente maiores que aquelas tipicamente envolvidas na intera\u00e7\u00e3o entre as duas part\u00edculas (lembre-se que o n\u00facleo possui dimens\u00f5es da ordem de 10-15<\/sup> m). Nesse caso, ao inv\u00e9s da depend\u00eancia temporal de r<\/em> \u00e9 mais vantagem tentar obter uma express\u00e3o que relacione o \u00e2ngulo de espalhamento com r, pois podemos tomar o seu valor assint\u00f3tico no qual r<\/em> \u00e9 muito grande. Para fazer isso, devemos transformar a equa\u00e7\u00e3o diferencial no tempo em uma equa\u00e7\u00e3o diferencial de r<\/em> em \u03b8. Isso pode ser feito aplicando a regra da cadeia abaixo: <\/p>\n\n\n\n

\"\frac{d}{dt} = \frac{d}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{\ell}{mr^2} \frac{d}{d\theta}\"     (12)<\/p>\n\n\n\n

Tamb\u00e9m fazemos a mudan\u00e7a de vari\u00e1vel \"r=1/u\", de modo que: <\/p>\n\n\n\n

\"dr = -\frac{1}{u^2}du\"     (13)<\/p>\n\n\n\n

Substituindo (12) e (13) em (11), ap\u00f3s alguma manipula\u00e7\u00e3o, temos: <\/p>\n\n\n\n

\"d\theta = \pm\frac{du}{ \sqrt{ -u^2 - \frac{2mk}{\ell^2}u +\frac{2mE}{\ell^2} } }\"     (14)<\/p>\n\n\n\n

Integrando ambos os lados da equa\u00e7\u00e3o (consulte uma boa tabela de integrais, a integral em du<\/em> possui solu\u00e7\u00e3o anal\u00edtica) e desprezando as constantes que aparecem quando fazemos uma integral (isso n\u00e3o \u00e9 importante, pois estaremos interessados em calcular o \u00e2ngulo de espalhamento que \u00e9 a diferen\u00e7a entre o \u00e2ngulo incidente e o \u00e2ngulo de sa\u00edda assint\u00f3ticos), temos: <\/p>\n\n\n\n

\"\theta = \pm\arcsin{\left( \frac{1+\frac{\ell^2}{mk}u}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }} \right)}\"     (14)<\/p>\n\n\n\n

Essa express\u00e3o parametriza o movimento da part\u00edcula \u03b1 pelo campo coulombiano devido ao n\u00facleo at\u00f4mico, como mostrada na figura no alto da p\u00e1gina. Os sinais representam quadrantes diferentes da trajet\u00f3ria. Vamos tomar apenas a solu\u00e7\u00e3o positiva. A condi\u00e7\u00e3o assint\u00f3tica do movimento ocorre quando o raio tende a infinito, ou seja, quando u<\/em> tende a zero. Nesse caso, podemos simplificar a equa\u00e7\u00e3o (14), al\u00e9m de inverter a express\u00e3o arcsin, de modo que: <\/p>\n\n\n\n

\"\sin{(\theta_0)} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }}\"     (15)<\/p>\n\n\n\n

Que corresponde aos \u00e2ngulos assint\u00f3ticos do movimento, tanto antes como depois da intera\u00e7\u00e3o. Como estamos interessados no desvio sofrido pela part\u00edcula em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 sua dire\u00e7\u00e3o inicial, \u00e9 f\u00e1cil ver que o desvio sofrido \u00e9 \"\Theta = 2\theta_0\", ou seja: <\/p>\n\n\n\n

\"\sin{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }}\"    (16)<\/p>\n\n\n\n

Usando a rela\u00e7\u00e3o trigonom\u00e9trica: <\/p>\n\n\n\n

\"\sin{(\phi)} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\cot^2(\phi) }}\"     (17)<\/p>\n\n\n\n

Escrevemos que: <\/p>\n\n\n\n

\"\cot^2{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{2\ell^2 E}{mk^2} }\"     (18)<\/p>\n\n\n\n

Como o momento angular \u00e9 uma grandeza conservada durante o movimento, podemos calcul\u00e1-lo assintoticamente, utilizando o par\u00e2metro de impacto. Nesse caso, o momento angular vale, para uma part\u00edcula de velocidade v<\/em> e par\u00e2metro de impacto b<\/em>: <\/p>\n\n\n\n

\"\ell = mvb = m\sqrt{\frac{2E}{m}}b = \sqrt{2mE}b\"     (19)<\/p>\n\n\n\n

Assim: <\/p>\n\n\n\n

\"\cot{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{2Eb}{k} }\"     (20)<\/p>\n\n\n\n

A express\u00e3o (20) \u00e9 particularmente importante pois permite o c\u00e1lculo da se\u00e7\u00e3o de choque de espalhamento da intera\u00e7\u00e3o entre a part\u00edcula \u03b1 e o n\u00facleo estudado. Na figura abaixo mostramos trajet\u00f3rias de v\u00e1rias part\u00edculas \u03b1 em diferentes par\u00e2metros de impacto. Note que quanto menor o par\u00e2metro de impacto, maior o \u00e2ngulo de espalhamento \u0398 da part\u00edcula incidente.
<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Figura 2 – Trajet\u00f3rias de part\u00edculas \u03b1 em diferentes par\u00e2metros de impacto<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Exerc\u00edcios<\/h3>\n\n\n\n
    \n
  1. Mostre que no caso de uma for\u00e7a central podemos reduzir o movimento a um plano e escrever a lagrangeana desse sistema de acordo com (2).<\/li>\n\n\n\n
  2. Para resolver o problema do espalhamento Rutherford n\u00e3o consideramos que o n\u00facleo alvo pudesse recuar devido \u00e0 intera\u00e7\u00e3o com a part\u00edcula \u03b1. Porque? Obtenha o \u00e2ngulo de espalhamento em fun\u00e7\u00e3o do par\u00e2metro de impacto considerando o recuo do n\u00facleo alvo.<\/li>\n\n\n\n
  3. Calcule a dist\u00e2ncia de m\u00e1xima aproxima\u00e7\u00e3o da part\u00edcula \u03b1 com o n\u00facleo em fun\u00e7\u00e3o da sua energia e par\u00e2metro de impacto da intera\u00e7\u00e3o. Em uma colis\u00e3o de par\u00e2metro de impacto muito pequeno, qual seria a energia necess\u00e1ria para uma part\u00edcula \u03b1 chegar a pelo menos 10 fm de dist\u00e2ncia de um n\u00facleo de ouro.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Leitura recomendada<\/h3>\n\n\n\n
      \n
    1. Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, se\u00e7\u00e3o 11.6<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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