Constantes de movimento em Mec\u00e2nica Qu\u00e2ntica<\/h3>\n\n\n\n
Vamos relembrar inicialmente alguns conceitos relacionados a invari\u00e2ncias e leis de conserva\u00e7\u00e3o em mec\u00e2ncia qu\u00e2ntica. Uma grandeza f\u00edsica qualquer pode ser obtida atrav\u00e9s do valor esperado do seu operador em rela\u00e7\u00e3o ao estado qu\u00e2ntico estudado, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"\langle A \rangle_{\psi} = \langle \psi | A | \psi \rangle = \int{d\vec{r} \psi^*(\vec{r},t) A \psi(\vec{r},t)}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f6ac12a06aaea1445fab77b5ded504b_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(1)<\/p>\n\n\n\n
Se a grandeza \u00e9 uma constante do movimento, a sua varia\u00e7\u00e3o no tempo \u00e9 nula, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-892137e1b6a8b2ba656a4077df99fcbe_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(2)<\/p>\n\n\n\n
Expandindo (2) a partir de (1), temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = \frac{d}{dt} \int{d\vec{r} \psi^<em>(\vec{r},t) A \psi(\vec{r},t)}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e0f76f85339991e47386aa46dae9218d_l3.png\" "\\"Rendered")
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = \int{d\vec{r} \frac{\partial}{\partial t}\psi^</em>(\vec{r},t) A \psi(\vec{r},t)} + \int{d\vec{r} \psi^<em>(\vec{r},t) \frac{\partial}{\partial t}A \psi(\vec{r},t)}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e1b829270884e83d29dc400f50e3453_l3.png\" "\\"Rendered")
![\"+ \int{d\vec{r} \psi^</em>(\vec{r},t) A \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r},t)}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a7ff8b4fbfab9ce109b2738b67cd730_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(3)<\/p>\n\n\n\n
A partir da equa\u00e7\u00e3o de Schr\u00f6dinger dependente do tempo: <\/p>\n\n\n\n
![\"i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H\psi(\vec{r},t)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4f504479c5c2795606ae773dfe875cd_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(4)<\/p>\n\n\n\n
Podemos reescrever (3) como: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = \int{d\vec{r} \left(\frac{1}{i\hbar}H\psi(\vec{r},t)\right)^* A \psi(\vec{r},t)} + \langle \frac{\partial}{\partial t}A \rangle_{\psi} + \int{d\vec{r} \psi^*(\vec{r},t) A \frac{1}{i\hbar}H\psi(\vec{r},t)}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afdae9d9442694173d9c2566da8a4e07_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(5)<\/p>\n\n\n\n
Sabendo que ![\"H\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-27e6d9ea27def3c6c8b8b76117681bcc_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00e9 hermitiano, podemos rescrever a primeira integral e, reorganizando as integrais acima, temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = \langle \frac{\partial}{\partial t}A \rangle_{\psi} + \frac{i}{\hbar}\int{d\vec{r} \psi^<em>(\vec{r},t) (HA -AH) \psi^</em>(\vec{r},t) }\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e99fdbb5bccc6f2e7760429e9d0e190_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d}{dt} \langle A \rangle_{\psi} = \langle \frac{\partial}{\partial t}A \rangle_{\psi} + \frac{i}{\hbar} \langle [H,A] \rangle_{\psi}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ebd7d70a76abc92f8046e2467bdcaf6_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(6)<\/p>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o (6), mostra que, caso o operador ![\"A\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f0e7c77c7bb083e330d9b7ede8d35abd_l3.png\" "\\"Rendered")
n\u00e3o dependa explicitamente do tempo e caso ![\"[H,A]=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c29cb95fb83ab8c2c1ebd33db4958b0c_l3.png\" "\\"Rendered")
, ent\u00e3o o valor m\u00e9dio de \u00e9 constante. Nesse caso, podemos dizer que essa grandeza \u00e9 uma constante do movimento. Essa igualdade \u00e9 particularmente importante pois permite obter claramente quais s\u00e3o as constantes de movimento de um sistema qu\u00e2ntico.<\/p>\n\n\n\n
Um aspecto interessante da equa\u00e7\u00e3o (6) \u00e9 a consequ\u00eancia que, se houver estados qu\u00e2nticos que sejam, simultaneamente, auto-estados de um operador e da Hamiltoniana do sistema, a grandeza ser\u00e1 uma constante do movimento. Para mostrar isso, basta aplicar o comutador desse operador e da Hamiltoniana nesses auto-estados, supondo ![\"\lambda_A\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-784e70171a4b0489fe744f37fe537b4d_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"\lambda_H\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d361876fb702c737dcc0f3cd79db1d7_l3.png\" "\\"Rendered")
auto-valores de e , respectivamente: <\/p>\n\n\n\n
![\"[H,A]|\psi\rangle = (HA - AH)|\psi\rangle = HA|\psi\rangle - AH|\psi\rangle = H\lambda_A|\psi\rangle - A\lambda_H|\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f964c3ff9a5e4f7d06a123412d4ee936_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
![\"[H,A]|\psi\rangle = \lambda_AH|\psi\rangle - \lambda_HA|\psi\rangle = \lambda_A\lambda_H|\psi\rangle - \lambda_H\lambda_A|\psi\rangle = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-265bffcffe76658c5dc31cf8f312b3a6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n
![\"[H,A]|\psi\rangle = 0 \rightarrow [H,A] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3256cbb985fc20e4a6ee1e234646da6b_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(7)<\/p>\n\n\n\n
Paridade<\/h3>\n\n\n\n
Com base nos argumentos acima, vamos estudar algumas propriedades de sistemas nucleares. Iniciaremos com a Paridade. O operador paridade pode ser definido como o operador que espelha as coordenadas de um sistema qu\u00e2ntico, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"P |\vec{r}\,\rangle = |-\vec{r}\,\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-395ec328b789be28f93cfa81883875b8_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(8)<\/p>\n\n\n\n
Aplicando novamente o operador paridade em (8), temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"P^2|\vec{r}\,\rangle = P P|\vec{r}\,\rangle = P|-\vec{r}\,\rangle = |\vec{r}\,\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af2f4720df03306b1339afcd5d4babc1_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(9)<\/p>\n\n\n\n
Ou seja, o operador ![\"P^2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-393476ccaf2b9da21922d13a734ce51f_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00e9 unit\u00e1rio. Isso sugere que os auto-estados do operador paridade possuam auto-valores ![\"\pm 1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba069a60dd166a7a59e2f6e0997a89cd_l3.png\" "\\"Rendered")
, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"P|\pi\rangle = \pm |\pi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-63b1b31465eea55f48614c0080c4a0c2_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(10)<\/p>\n\n\n\n
As \u00fanicas fun\u00e7\u00f5es cujo espelhamento das coordenadas espaciais retornam a mesma fun\u00e7\u00e3o, mudando (ou n\u00e3o) apenas os seus sinais s\u00e3o as chamadas fun\u00e7\u00f5es pares e \u00edmpares. Em uma fun\u00e7\u00e3o par ![\"f(-x) = f(x)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62de328f0d1efa652b07ccf4176162a8_l3.png\" "\\"Rendered")
enquanto em uma fun\u00e7\u00e3o \u00edmpar, ![\"f(-x) = -f(x)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-52ef69f71848a2efba0ed03737591b0b_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Uma consequ\u00eancia \u00f3bvia \u00e9 que a qualquer auto-estado que seja uma fun\u00e7\u00e3o par ou \u00edmpar por reflex\u00e3o das suas coordenadas tamb\u00e9m ser\u00e1 um auto-estado da paridade. Assim, caso os auto-estados de uma Hamiltoniana sejam fun\u00e7\u00f5es pares ou \u00edmpares, a paridade ser\u00e1 uma constante do sistema. Para que os auto-estados de uma Hamiltoniana possuam paridade bem definidas \u00e9 necess\u00e1rio que o potencial de intera\u00e7\u00e3o seja uma fun\u00e7\u00e3o par. Isso pode ser demonstrado calculando-se explicitamente o comutador ![\"[H,P]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3ae32bee95088250955d8ea8fc481545_l3.png\" "\\"Rendered")
. Esse ser\u00e1 nulo se o potencial de intera\u00e7\u00e3o for par. Essa afirma\u00e7\u00e3o tem implica\u00e7\u00f5es importantes em f\u00edsica nuclear pois, caso seja uma grandeza conservada, a paridade acaba impondo regras de sele\u00e7\u00e3o importantes em rea\u00e7\u00f5es e decaimentos nucleares.<\/p>\n\n\n\n
Em um sistema cujo potencial \u00e9 radial, pode-se escrever a fun\u00e7\u00e3o de onda como sendo: <\/p>\n\n\n\n
![\"\psi(\vec{r}) =\varphi(r)Y_{\ell m_{\ell}}(\theta,\phi)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dadfa7d2030a522e661fa75e24bd6396_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(11)<\/p>\n\n\n\n
Aplicando o operador paridade nessa fun\u00e7\u00e3o de onda, temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"P\psi(\vec{r}) = \psi(-\vec{r}) = \varphi(r)Y_{\ell m_{\ell}}(\pi - \theta,\phi + \pi) = (-1)^{\ell} \varphi(r)Y_{\ell m_{\ell}}(\theta,\phi) = (-1)^{\ell} \psi(\vec{r})\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88e85fe26fb87928ee63e59d4e959f5b_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(12)<\/p>\n\n\n\n
Isto \u00e9, a paridade de uma fun\u00e7\u00e3o de onda obtida de um potencial central \u00e9 definida pelo momento angular e ser\u00e1 par se ![\"\ell\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26de45392dd6305dd8339dc29f448f7b_l3.png\" "\\"Rendered")
for par e \u00edmpar, se for \u00edmpar. Em um sistema de m\u00faltiplas part\u00edculas, o estado final desse sistema pode ser escrito como o produto dos estados individuais de cada uma das part\u00edculas. Se todas as part\u00edculas possu\u00edrem paridade bem definida, a paridade do sistema final ser\u00e1 o produto das paridades individuais.<\/p>\n\n\n\n
N\u00f3s j\u00e1 discutimos os crit\u00e9rios necess\u00e1rios para que a paridade seja uma grandeza conservada. O potencial de intera\u00e7\u00e3o deve ser uma fun\u00e7\u00e3o par. Nesse caso, todos os auto-estados da Hamiltoniana ser\u00e3o pares ou \u00edmpares. Como consequ\u00eancia, Quando o potencial de intera\u00e7\u00e3o \u00e9 radial, ou seja, apenas uma fun\u00e7\u00e3o da dist\u00e2ncia entre as part\u00edculas que est\u00e3o interagindo, a determina\u00e7\u00e3o dos auto-estados da Hamiltoniana do sistema pode ser feita assumindo que o auto-estado pode ser escrito como o produto de uma fun\u00e7\u00e3o que depende apenas da dist\u00e2ncia por uma fun\u00e7\u00e3o que depende dos \u00e2ngulos polar e azimutal. Nesse procedimento, percebe-se que h\u00e1 uma outra grandeza conservada, o momento angular, tornando o momento angular importante para caracteriza\u00e7\u00e3o dos auto-estados do sistema. Classicamente, define-se momento angular como produto vetorial entre posi\u00e7\u00e3o e momento da part\u00edcula: <\/p>\n\n\n\n Podemos usar essa mesma defini\u00e7\u00e3o como ponto de partida em mec\u00e2nica qu\u00e2ntica, substituindo as componentes dos vetores posi\u00e7\u00e3o e momento pelos seus operadores correspondentes. Por exemplo, a componente z<\/em> do momento angular pode ser escrita como: <\/p>\n\n\n\n Vamos calcular Nesse ponto, e ficar\u00e1 claro porque, as constantes acima n\u00e3o importam. Vamos dividir esse comutador em duas partes: <\/p>\n\n\n\n Vamos agora calcular a segunda parte do comutador: <\/p>\n\n\n\n com Ou seja: <\/p>\n\n\n\n O resultado acima para E assim, o momento angular \u00e9 uma constante do movimento sendo, portanto, os seus auto-estados tamb\u00e9m auto-estados da Hamiltoniana. Nesse caso, podemos usar os seus auto-valores como n\u00famero qu\u00e2ntico para caracterizar um auto-estado da Hamiltoniana. Dos resultados acima pode-se pensar que, como as tr\u00eas componentes do momento angular s\u00e3o constantes do movimento, poder\u00edamos usar os auto-valores dessas tr\u00eas componentes como n\u00fameros qu\u00e2nticos. Isso n\u00e3o \u00e9 verdade, como ser\u00e1 discutido a seguir. Vamos calcular, por exemplo: <\/p>\n\n\n\n Assim: <\/p>\n\n\n\n Ou seja, apesar de haver auto-estados simult\u00e2neos da Hamiltoniana e qualquer componente do momento angular, n\u00e3o h\u00e1 auto-estados simult\u00e2neos de duas componentes do momento angular. Essa limita\u00e7\u00e3o est\u00e1 diretamente relacionada ao princ\u00edpio de incerteza na qual n\u00e3o podemos medir as tr\u00eas componentes com precis\u00e3o ilimitada. Contudo, pode-se mostrar que qualquer componente do momento angular comuta com o momento angular total, ou seja: <\/p>\n\n\n\n Assim, podemos achar um conjunto de estados qu\u00e2nticos que sejam, simultaneamente, auto-estados da Hamiltoniana, do momento angular e de uma componente do momento angular. Em geral escolhe-se a componente z<\/em> do momento angular. Esses auto-estados satisfazem as seguintes rela\u00e7\u00f5es: <\/p>\n\n\n\n No caso de um potencial central, esses auto-estados s\u00e3o escritos de acordo com a equa\u00e7\u00e3o (11), de modo que A partir das rela\u00e7\u00f5es acima, podemos concluir que cada subconjunto de auto-estados de mesma energia \u00e9 composto Segundo Pauli, al\u00e9m das propriedades de momento angular espacial, deve-se adicionar propriedades de spin. Os operadores de spin possuem propriedades similares as de momento angular, ou seja: <\/p>\n\n\n\n Contudo, nesse caso, Uma consequ\u00eancia imediata de (22) \u00e9 que os operadores de spin comutam com os operadores espaciais (posi\u00e7\u00e3o e momento) e os observ\u00e1veis de spin seriam constantes de movimento (assim como momento angular, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel medir com precis\u00e3o infinita as tr\u00eas componentes de spin).<\/p>\n\n\n\n Nesse caso, um estado qu\u00e2ntico poderia ser descrito como: <\/p>\n\n\n\n sendo Em geral, sistemas de part\u00edculas contendo spin possuem Hamiltoniana com pequenas perturba\u00e7\u00f5es devido ao acoplamento do momento magn\u00e9tico dessas part\u00edculas, por conta do seu spin, com campos magn\u00e9ticos que podem ser criados devido ao momento angular orbital. Esse \u00e9 o chamado acoplamento spin-\u00f3rbita e ser\u00e1 discutido em detalhes mais a frente, quando estudarmos modelo de camadas. Contudo, a Hamiltoniana do sistema passa a possuir um novo termo, devido a esse acoplamento, e assim, escrevemos que a nova Hamiltoniana do sistema vale: <\/p>\n\n\n\n Nessa situa\u00e7\u00e3o, pode-se mostrar que os operadores Assumindo O mesmo pode-se demonstrar para as outras componentes de momento angular e spin. Desse modo, como essas componentes n\u00e3o mais comutam com a Hamiltoniana, as mesmas deixam de ser constantes de movimento e n\u00e3o podemos escrever estados que sejam simultaneamente auto-estados de \u00c9 conveniente encontrar uma base que possa descrever esse sistema e que tamb\u00e9m possa descrever o sistema sem esse acoplamento. Isso pode ser feito definindo-se o momento angular total como sendo: <\/p>\n\n\n\n Esse operador satisfaz todas rela\u00e7\u00f5es de comuta\u00e7\u00e3o e auto-valores de um operador de momento angular, ou seja: Pode-se demonstrar que Em muitas situa\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas, contudo, a descri\u00e7\u00e3o do sistema em termos das proje\u00e7\u00f5es de momento angular orbital e spin ainda s\u00e3o desej\u00e1veis. Nesse caso, precisa-se expandir um estado de momento angular total em estados de momento angular e spin. Usamos a expans\u00e3o: <\/p>\n\n\n\n![\"|\psi(\vec{r})|^2 = |\psi(-\vec{r})|^2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f4fc5b5f352d55a99110835deee8938_l3.png\" "\\"Rendered")
. Se n\u00e3o for o caso, o sistema n\u00e3o conserva a paridade. Em f\u00edsica nuclear em, situa\u00e7\u00f5es normais, ainda n\u00e3o h\u00e1 evid\u00eancias de viola\u00e7\u00e3o de paridade em intera\u00e7\u00f5es fortes, o que fornece informa\u00e7\u00f5es importantes sobre a natureza do potencial de intera\u00e7\u00e3o. Contudo, como veremos mais a frente, decaimentos nuclear \u03b2, mediados por intera\u00e7\u00f5es fracas, n\u00e3o conservam paridade. A viola\u00e7\u00e3o de paridade em decaimentos \u03b2 mudou de forma dram\u00e1tica o entendimento acerca das intera\u00e7\u00f5es fundamentais da Natureza.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/i15-31-parity.jpg\")
Momento angular e spin<\/h3>\n\n\n\n
![\"\vec{\ell} = \vec{r} \times \vec{p}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa3be34af3db18370761762bc49152c6_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(13)<\/p>\n\n\n\n![\"\ell_z = xp_y - yp_x = \frac{\hbar}{i}\left( x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x} \right)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e274ee6bd38b72384d25e87439264412_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(14)<\/p>\n\n\n\n![\"[H,\ell_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7b2fe676673f3af002b745365d634221_l3.png\" "\\"Rendered")
] para uma Hamiltoniana cujo potencial \u00e9 central: <\/p>\n\n\n\n![\"[H,\ell_z] = \left[\frac{p^2}{2\mu} +V(r), xp_y - yp_x \right]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-60d277c6afeb05d9594bdfd0da932909_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(15)<\/p>\n\n\n\n![\"[p^2, xp_y - yp_x\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8991b0e112c2c99f8d2f6590de2be521_l3.png\" "\\"Rendered")
] e ![\"[V(r),xp_y - yp_x\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02509e5911a526ad5dec102ebeee9e32_l3.png\" "\\"Rendered")
]: ![\"[p^2, xp_y - yp_x] = [p_x^2+p_y^2+p_z^2, xp_y-yp_x ] = [p_x^2,xp_y] -[p_y^2,yp_x]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e355e120f7eb289807aa6980675a1daa_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"= p_x[p_x,x]p_y + [p_x,x]p_xp_y - p_y[p_y,y]p_x-[p_y,y]p_yp_x\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-91618f4bfaa496b57d8b70a44e0eff41_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"= -i\hbar p_xp_y - i\hbar p_xp_y +i\hbar p_yp_x + i\hbar p_yp_x = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cff34183b138d34e74ac0d74be76a3ef_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"[V(r), xp_y - yp_x] = [V,xp_y] - [V,yp_x] = x[V,p_y] - y[V,p_x]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30aa034b9b1654eda9dc62b10d52831a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"p_i = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{\hbar}{i}\frac{x_i}{r}\frac{\partial}{\partial r} }\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c7e3fcf0263642b406ee8f633cafd509_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"x[V,p_y] - y[V,p_x] = \frac{\hbar}{i}\left(x\left(V\frac{y}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{y}{r} \frac{\partial}{\partial r}V\left) - y\left(V\frac{x}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{x}{r} \frac{\partial}{\partial r}V\right) \right) = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31d9b9148ced8b0bbf81bed0d8ec31cb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"[H,\ell_z] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bcedf82afd083d6a03ba4a9406b6fd0_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(16)<\/p>\n\n\n\n![\"\ell_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ef66f82c0ea1933bc119d7a9d9778b64_l3.png\" "\\"Rendered")
pode ser extendido para as outras componentes, assim ![\"[H,\ell_i] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f85f75a340d2add32e7bc01e88249992_l3.png\" "\\"Rendered")
. Como o momento angular \u00e9 a soma das suas componentes, podemos dizer que: <\/p>\n\n\n\n![\"[H,\ell^2] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-29dd43daa09002a78d832957cc891aaa_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(17)<\/p>\n\n\n\n![\"[\ell_x,\ell_y\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c89a323260e38cb0e2a2ae95e2daa653_l3.png\" "\\"Rendered")
]: ![\"[\ell_x,\ell_y] = [yp_z - zp_y, zp_x - xp_z]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfd94f314402aa4831d70e21d2a83086_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"= [yp_z,zp_x] + [zp_y,xp_z] = y[p_z,z]p_x + x[z,p_z]p_y\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-caaba76ab96862d3e9abc25f17a3d59c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"= [yp_z,zp_x] + [zp_y,xp_z] = y(-i\hbar)p_x + x(i\hbar)p_y\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-75d765b1324501e76d37a4cb732093fe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"[\ell_x,\ell_y] = i\hbar(xp_y - yp_x ) = i\hbar\ell_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7f9c44def4634b239900c5f8dc67868_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(18)<\/p>\n\n\n\n![\"[\ell_i,\ell^2] =0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-135569d55cc5ae952d8b5b167de17c9f_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(19)<\/p>\n\n\n\n![\"H |\psi\rangle = E |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d731946c881b22ff3987ebb4e349295b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"\ell^2 |\psi\rangle = \hbar^2\ell(\ell+1) |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7e24b9c9a0ec759b529ff6ce99525937_l3.png\" "\\"Rendered")
(20)<\/p>\n\n\n\n![\"\ell_z |\psi\rangle = \hbar m_{\ell} |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e89660111c7e17c204a528ec6c674100_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n \u00e9 um n\u00famero inteiro, maior ou igual a zero, e ![\"-\ell \leq m_{\ell} \leq \ell\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-374d5465a15801999a4ad697984c1629_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n![\"2\ell+1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae2cf85b0f3fff98e7d6e81d8377347c_l3.png\" "\\"Rendered")
auto-estados degenerados de momento angular. Isso de fato ocorre. A princ\u00edpio, por exemplo, em um sistema at\u00f4mico (o mesmo vale para sistemas nucleares) um el\u00e9tron de energia E<\/em> poderia estar em estados diferentes de momento angular. Esses n\u00edveis de energia, na presen\u00e7a de um campo magn\u00e9tico, se separariam, devido ao acoplamento do momento magn\u00e9tico desse el\u00e9tron por conta do seu estado de momento angular. Sendo sempre um n\u00famero \u00edmpar, espera-se que o n\u00famero de estados observados tamb\u00e9m seriam \u00edmpares. Esse \u00e9 o chamado efeito Zeeman. Em alguns \u00e1tomos, como o \u00e1tomo de s\u00f3dio, \u00e9 observado que essa separa\u00e7\u00e3o resulta em um n\u00famero par de estados distintos. Esse fen\u00f4meno foi denominado de efeito Zeeman an\u00f4malo e intrigou a comunidade cient\u00edfica. Essas observa\u00e7\u00f5es sugerem a exist\u00eancia de alguma outra propriedade, similar a momento angular, que deve caracterizar esse sistema. Al\u00e9m disso, medidas de n\u00edveis de energia at\u00f4micos com elevada precis\u00e3o mostram que h\u00e1 estruturas de energia fina e hiperfina nos n\u00edveis de energia dos \u00e1tomos. Essas estruturas n\u00e3o podem ser explicadas apenas pelas propriedades da Hamiltoniana de potencial central, que d\u00e1 origem ao momento angular orbital. Essas evid\u00eancias indicam a necessidade de incorporar uma outra propriedade ao sistema qu\u00e2ntico estudado: o spin. Essa propriedade, descoberta experimentalmente, teve seu formalismo desenvolvido inicialmente por Pauli e, posteriormente, de forma mais concisa, por Dirac, atrav\u00e9s da sua formula\u00e7\u00e3o relativ\u00edstica para mec\u00e2nica qu\u00e2ntica.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/zeeman-effect.gif\")
![\"\"](\"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/fine_hyperfine_levels.png\")
![\"[S_x,S_y] = i\hbar S_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05ab91fc67c8b324df30e9b981fa8c74_l3.png\" "\\"Rendered")
e assim por diante<\/p>\n\n\n\n![\"S^2 |\psi\rangle = \hbar^2s(s+1) |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eaa255cb7591bf7d791a50925a9e9bad_l3.png\" "\\"Rendered")
(21)<\/p>\n\n\n\n![\"S_z |\psi\rangle = \hbar m_s |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-87e37b61be1ffa2e51d80a7320c4514f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"s\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20e7a357fe54311ec7eb76f9ae3162b3_l3.png\" "\\"Rendered")
poderia assumir valores semi-inteiros. Isso \u00e9 necess\u00e1rio para explicar os efeitos experimentais observados, tomando que ![\"s_e = 1/2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39fe6d10230f2b1cbc4a504df527c6e4_l3.png\" "\\"Rendered")
. Al\u00e9m disso, Pauli postulou que o auto-estado final de um sistema com spin seria composto atrav\u00e9s do produto de auto-estados espaciais e auto-estados de spin, ou seja: <\/p>\n\n\n\n![\"|\psi\rangle = |E\ell m_{\ell}\rangle \times |s m_s\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61e7bfd1794c9368cee4e113187ac881_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(22)<\/p>\n\n\n\n![\"|\psi\rangle = | n\, \ell \, m_{\ell} \, s \, m_s \, \pi \, \rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78910b625f1b30e72763938bebf2e0da_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(23)<\/p>\n\n\n\n![\"n\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b79cf26c7b6b2e125a2a94276b57f7b_l3.png\" "\\"Rendered")
um n\u00famero qu\u00e2ntico que representa o n\u00edvel de energia e ![\"\pi = \pm\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4ce33bdae4aa9bd42cde510f6fd60481_l3.png\" "\\"Rendered")
a paridade do estado, caso ele possua paridade bem definida.<\/p>\n\n\n\n![\"H = H_0 + W \vec{\ell}\vec{S}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a06fc1dc6fe366e9bfe00eccadefc5df_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(24)<\/p>\n\n\n\n![\"\ell^2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-90331f74254909c7325ac7407062403c_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"S^2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-477b45e476b7d743ae806a7e2ff05c46_l3.png\" "\\"Rendered")
continuam comutando com a Hamiltoniana. Por outro lado, os operadores ![\"\ell_i\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7f964cc666e32780e94c43720bf68f63_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"S_i\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4da87ed14b1c7ef575bf87329b4cb2f_l3.png\" "\\"Rendered")
n\u00e3o comutam mais com a Hamiltoniana. Demonstremos isso para o caso do operador : <\/p>\n\n\n\n![\"[H,\ell_z] = [H_0,\ell_z]+[W\vec{\ell}\vec{S},\ell_z] = [W\vec{\ell}\vec{S},\ell_z]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-46ce0275f86ba972bc7b16d977d2b4d5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"W\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-18f8aa31a5b552a702d9ed004b30559e_l3.png\" "\\"Rendered")
como radial, basta calcular ![\"[\vec{\ell}\vec{S},\ell_z]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d01c297009f4319f1f941b2d855c8c0_l3.png\" "\\"Rendered")
, ou seja: <\/p>\n\n\n\n![\"[\vec{\ell}\vec{S},\ell_z] = [ \ell_xS_x + \ell_yS_y + \ell_zS_z, \ell_z]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25d1d28823630687a6c4ffa06a1e1579_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"= [ \ell_x,\ell_z]S_x + [\ell_y,\ell_z]S_y \neq 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a82d681083c488ff40e2f8605266b0cb_l3.png\" "\\"Rendered")
(25)<\/p>\n\n\n\n e ![\"S_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6a039efcba14d93b7fa05eb0932a1cb_l3.png\" "\\"Rendered")
, por exemplo. Desse modo perdemos dois n\u00fameros qu\u00e2nticos que descreveriam o estado do sistema.<\/p>\n\n\n\n![\"\vec{J} = \vec{\ell} + \vec{S}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5268f1da07fbe375ac19e8400800de5c_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(26)<\/p>\n\n\n\n![\"[J_x,J_y] = i\hbar J_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c60aacf4a2995d3802c5465eeba7d96_l3.png\" "\\"Rendered")
e assim por diante<\/p>\n\n\n\n![\"J^2 |\psi\rangle = \hbar^2j(j+1) |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-729c0e5417380dafaa4cefb82d02f4e0_l3.png\" "\\"Rendered")
(27)<\/p>\n\n\n\n![\"J_z |\psi\rangle = \hbar m_J |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ba34136bf87d9e0a9e78028d11f548ff_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"[H,J^2] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3649ed51f60221c94eb494a071af6e6_l3.png\" "\\"Rendered")
e que ![\"[H, J_z] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cee0bdbf2c3da2ebb5f13ce14f1a878c_l3.png\" "\\"Rendered")
(exerc\u00edcios), sendo, assim, constantes do movimento. Desse modo, \u00e9 muito mais conveniente representar auto-estados de sistemas com momento angular orbital e spin atraves de: <\/p>\n\n\n\n![\"|\psi\rangle = | n\, \ell \, s \, J \, m_J\, \pi \, \rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a3dbbd64cbd4e357d826410ac6b6596f_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(28)<\/p>\n\n\n\n![\"| \ell \, s \, J \, m_J\, \rangle = \sum_{m_{\ell}m_s}{C_{\ell\, m_{\ell}\, s\, \m_s}^{J\, m_J} | \ell\, m_{\ell} \, s \, m_s\, \rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d87aa298562322a75ae5ffc94d75f5f4_l3.png\" "\\"Rendered")
(29)<\/p>\n\n\n\n
![\"C_{\ell\, m_{\ell}\, s\, \m_s}^{J\, m_J}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-184d1492c8d5d6333f49b7bb8054293e_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00e3o chamados de coeficientes de Clebsch\u2013Gordan e os seus valores podem ser ![\"C_{\ell\, m_{\ell}\, s\, \m_s}^{J\, m_J} = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c81de38dedd578b99dbf2c9b6fd5262b_l3.png\" "\\"Rendered")
se ![\"m_J \neq m_{\ell}+m_s\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cf2ec2339ce8cf36a2fb32d20f55ccd_l3.png\" "\\"Rendered")
, o que reduz consideravelmente as combina\u00e7\u00f5es de estados necess\u00e1rias para descrever um estado em uma base ou outra.<\/p>\n\n\n\n![\"n^{2s+1}\ell_J^{\pi}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-089d482801e2307bfc9d06601573d456_l3.png\" "\\"Rendered")
(30)<\/p>\n\n\n\n![\"m_J\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b85915a6b44492079630b6786125808e_l3.png\" "\\"Rendered")
, \u00e9 comum omit\u00ed-lo da nota\u00e7\u00e3o. Tamb\u00e9m \u00e9 o caso quando a paridade \u00e9 definida apenas pelo momento angular orbital. Como exemplo, o estado com ![\"n = 2, \ell = 1, s=1/2, J = 3/2, \pi=+\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e6cc959799faa4e5e83892792f74ad8_l3.png\" "\\"Rendered")
pode ser representado como ![\"2^{2}p_{3/2}^{+}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f1bdab5f1eb5fe0c9164db875c03781_l3.png\" "\\"Rendered")
. Em algumas nota\u00e7\u00f5es o termo ![\"2s+1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85e8bdf27486fe32c2e031dbe4da3dc5_l3.png\" "\\"Rendered")
, superescrito, n\u00e3o aparece. Esse termo designa qual a multiplicidade do estado de spin (singleto, dubleto, tripleto, etc.) e \u00e9 mais comum de aparecer caso haja mais de uma part\u00edcula envolvida. H\u00e1 varias outras formas de nota\u00e7\u00e3o. Por exemplo, tamb\u00e9m \u00e9 comum representar o estado usando a nota\u00e7\u00e3o ![\"J^{\pi}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3bfbc5f90885d504d27aea16a779ff2_l3.png\" "\\"Rendered")
. No exemplo anterior, ter\u00edamos o estado ![\"3/2^+\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bb43268d92ea64a3c07ecc02fdd32a79_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n![\"I\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0738b74a3feec931af501a6bd1155657_l3.png\" "\\"Rendered")
para representar o momento angular total do n\u00facleo at\u00f4mico. Contudo, o problema \u00e9 drasticamente simplificado com base em algumas observa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n\n\n\n![\"j(\hbar)=1/2,3/2,5/2,...\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-61a3af9bb23a9bb6f5e34b79515aeead_l3.png\" "\\"Rendered")
). Desse modo, a componente-z do momento angular total de um nucleon \u00e9 semi-inteiro.<\/li>\n\n\n\n![\"I(\hbar)=0,1,2,3,...\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-804b626c9b0c24cbf99acfc716d2218a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/li>\n\n\n\n![\"I(\hbar)=1/2,3/2,5/2,...\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26620d187c0203081dde85ba93c4d2d0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n\n\n\n![\"I=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14d929cb0cff8c919759ab5ad9ee83da_l3.png\" "\\"Rendered")
. Essa informa\u00e7\u00e3o \u00e9 extremamente importante pois permite a conclus\u00e3o que nucleons tendem a se emparelhar em termos de momento angular, aumentando a sua estabilidade. Essa evid\u00eancia, de certa forma, j\u00e1 se fez presente na f\u00f3rmula de massa, quando observamos que n\u00facleos par-par s\u00e3o mais est\u00e1veis.<\/li>\n\n\n\n![\"\vec{I} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5258fc71d7a53e2d8848dfcd5f532b47_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/isospin1.jpg\")
![\"[T_x,T_y] = i\hbar T_z\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b34a6e7a1f8724bc0ae7e9bc8738b678_l3.png\" "\\"Rendered")
e assim por diante<\/p>\n\n\n\n![\"T^2 |\psi\rangle = \hbar^2T(T+1) |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51ee352f3f573f200f153ddcf6916542_l3.png\" "\\"Rendered")
(31)<\/p>\n\n\n\n![\"T_z |\psi\rangle = \hbar m_T |\psi\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f464cb4a8e93bc9c2f991c59092fe5ed_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n\n\n\n![\"T=1/2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-68ebf3a4fad311b72a8c6154122803d9_l3.png\" "\\"Rendered")
, sendo escolhido que ![\"T_z = +1/2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69041b964eb1b266159dc7891c635982_l3.png\" "\\"Rendered")
para o pr\u00f3ton e ![\"T_z = -1/2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-205efe82ab2a087763409dca0a351f29_l3.png\" "\\"Rendered")
para n\u00eautrons (alguns livros usam nota\u00e7\u00e3o invertida, cuidado!). No caso do p\u00edon, ![\"T=1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-201756842d34db63cf3d3a3bc4dfe63c_l3.png\" "\\"Rendered")
, que possui tr\u00eas estados para a proje\u00e7\u00e3o no eixo-z, ![\"T_z = -1,0,1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e77cea55decfb2bb8dafe63ba888330_l3.png\" "\\"Rendered")
, atribu\u00eddo a cada um dos p\u00edons observados.<\/p>\n\n\n\n![\"T_z=1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7630f1577f1fb64a5675ceab83a33a8e_l3.png\" "\\"Rendered")
de modo que o isospin desse sistema vale ![\"T_z=-1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-894b83384346909839bf4dc00668d1aa_l3.png\" "\\"Rendered")
de modo que o isospin desse sistema vale ![\"T_z=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-981397714be0fb6248e1779efa4c745e_l3.png\" "\\"Rendered")
, o que nos d\u00e1 duas possibilidades para o isospin: ![\"T=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-162c61bc0aeb1ae07983c6e5f960c9f2_l3.png\" "\\"Rendered")
ou ![\"J^{\pi} = 0^+\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85abb2ac1555529f6cd91301840599c7_l3.png\" "\\"Rendered")
corresponde a um tripleto, ou seja, um estado de isospin 1, enquanto o estado ![\"J^{\pi} =1^+\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3765e0b3b55ecc23c7322c6d0385d4ca_l3.png\" "\\"Rendered")
, s\u00f3 presente no d\u00eauteron, por ser um singleto, possui isospin 0. A independ\u00eancia da carga na intera\u00e7\u00e3o forte pode ser resumida em tomar que a intera\u00e7\u00e3o depende somente do isospin total do estado e n\u00e3o de sua componente em z. Isso \u00e9 bastante similar a estados de momento angular e spin.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"http:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/isospin2.jpg\")
![\"[H,P]=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c1b9cf90cc17a0def89cc3bf99c2004d_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li>\n\n\n\n![\"[H, S^2] = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b8c7fb5e3b68df37b6396ac4d2299a9_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/li>\n\n\n\n![\"J\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a6dd4fb011c6c9c90ee18bf33c1557f9_l3.png\" "\\"Rendered")
, supondo que o estado esteja esteja em um n\u00edvel ![\"p\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06e1ffdcf1188eb219950f072a3e5515_l3.png\" "\\"Rendered")
de momento angular orbital. Quantos estados seriam poss\u00edveis nesse caso?<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n