![\"E_B = 2.22464 \pm 0.00005\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be0613d9ae4dcc541daf37912e9fcf0c_l3.png\" "\\"Rendered")
MeV. Alguns m\u00e9todos de medidas foram discutidos anteriormente.<\/li>\n\n\n\n![\"J=1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f3a78e6726272da78c00685dfa4631d_l3.png\" "\\"Rendered")
. Atrav\u00e9s de medidas de desintegra\u00e7\u00f5es nucleares, atrav\u00e9s da conserva\u00e7\u00e3o da paridade e compara\u00e7\u00e3o com modelos te\u00f3ricos, mostram que o d\u00eauteron deve possuir fun\u00e7\u00e3o de onda par.<\/li>\n\n\n\n![\"Q = 0.00282\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dc9226e6ace624db59639c9915f33cf8_l3.png\" "\\"Rendered")
barns.<\/li>\n\n\n\n![\"\mu_d = (0.857393 \pm 0.000001)\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72513889b186ec59716a56ce418f042a_l3.png\" "\\"Rendered")
, onde ![\"\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-25bf28c1dfc78f2e2faf1f27555636ef_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00e9 o magneton nuclear.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\nCom base nessas informa\u00e7\u00f5es vamos tentar construir um modelo realista, por\u00e9m simples, para o d\u00eauteron.<\/p>\n\n\n\n
Primeiramente vamos olhar o momento de dipolo magn\u00e9tico. A soma do momento de dipolo do pr\u00f3ton e n\u00eautron vale ![\"\mu_p + \mu_n = 0.8797 \mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50642bf0ed6e5f338c1536f05c7ce91e_l3.png\" "\\"Rendered")
, muito pr\u00f3ximo ao valor para o d\u00eauteron. Essa soma simples sugere que os spins do pr\u00f3ton e n\u00eautron devam, em primeira aproxima\u00e7\u00e3o, estar alinhados e que o momento angular orbital entre eles seja muito pequeno, ![\"\ell \sim 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03813fea0b4a6f6744037e22188a6519_l3.png\" "\\"Rendered")
. Contudo, a elevada precis\u00e3o das medidas experimentais tornam essa soma incompat\u00edvel com o valor medido. Vamos retomar isso mais a frente. Contudo, vamos usar que essa rela\u00e7\u00e3o \u00e9 aproximadamente satisfeita como ponto de partida.<\/p>\n\n\n\n
Vamos resolver a Equa\u00e7\u00e3o de Schr\u00f6dinger no centro de massa do sistema pr\u00f3ton-n\u00eautron. Sendo ![\"\mu\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-428ae13d818a324bc299f9767edbb445_l3.png\" "\\"Rendered")
a massa reduzida desse sistema, temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V(r)\right)\psi = E\psi\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad364b40fe1a28486ae2dff8fc8c1407_l3.png\" "\\"Rendered")
(1)<\/p>\n\n\n\n
Supondo que o potencial \u00e9 central, podemos escrever a fun\u00e7\u00e3o de onda como sendo o produto de uma fun\u00e7\u00e3o radial por uma fun\u00e7\u00e3o que depende dos \u00e2ngulos polar e azimutal, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"\psi(r,\theta, \phi) = \frac{u_{\ell}(r)}{r}Y_{\ell m}(\theta,\phi)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b25107f973633ea330cdcb90e3bdaf0_l3.png\" "\\"Rendered")
(2)<\/p>\n\n\n\n
Nessa separa\u00e7\u00e3o de vari\u00e1veis, conserva-se o momento angular orbital relativo entre as part\u00edculas. A parte angular possui solu\u00e7\u00e3o trivial (harm\u00f4nicos esf\u00e9ricos) enquanto a parte radial cont\u00e9m toda informa\u00e7\u00e3o acerca do potencial. Nesse caso, para entender a intera\u00e7\u00e3o entre as part\u00edculas, precisamos resolver a equa\u00e7\u00e3o radial: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d^2}{dr^2}u_{\ell} + \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r) - \frac{\hbar^{2}\ell(\ell+1)}{2\mu r^2}\right) u_{\ell} = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c45f9bfa24503b2fff0017ff4f60b740_l3.png\" "\\"Rendered")
(3)<\/p>\n\n\n\n
O potencial mais simples que podemos utilizar para o d\u00eauteron \u00e9 um po\u00e7o quadrado radial, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
<\/span> <\/span>![\"\[ V(r) = \left\{ \begin{array}{l l} \infty & \quad \mbox{se $r=0$} \\ -V_0 & \quad \mbox{se $r<R$} \\ 0 & \quad \mbox{se $r>R$} \\ \end{array} \right. \]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aef9b33ca2cac9ac91a97e194481c95c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> (4)<\/code><\/pre>\n\n\n\nO fato dele do potencial ser infinito a curtas dist\u00e2ncias representa a satura\u00e7\u00e3o da densidade nuclear, como visto no in\u00edcio da disciplina. A proximidade do momento de dipolo magn\u00e9tico do d\u00eauteron com a soma dos momentos do pr\u00f3ton e n\u00eautron, como vimos, sugere que o momento angular relativo seja nulo. Assim, fazendo ![\"\ell = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae9e43e4d2567f5b414bbeb7d698259d_l3.png\" "\\"Rendered")
em (3) temos a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d^2}{dr^2}u + \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( E - V(r)\right) u = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b9f6406d597bc9091e7c3d41cfd4b13e_l3.png\" "\\"Rendered")
(5)<\/p>\n\n\n\n
Vamos resolver esse sistema para o estado fundamental do d\u00eauteron, ou seja, ![\"E = -E_B\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b10dda35dd57bac53bd2da165c78f70b_l3.png\" "\\"Rendered")
. Definindo ![\"k^2(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( -E_B - V(r)\right)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9a0a92fed8c5b56a2969f93f8f384f4b_l3.png\" "\\"Rendered")
, podemos escrever a equa\u00e7\u00e3o (5) como: <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d^2}{dr^2}u + k^2(r) u = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a16704713b4a1788f0f300c2a9f583fb_l3.png\" "\\"Rendered")
\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 (6)<\/p>\n\n\n\n
A equa\u00e7\u00e3o (6) pode ser separada em duas, dependendo da regi\u00e3o do potencial: ou seja, para ![\"r<R\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8ee5e8f98930c60aff810963d0fa8ff5_l3.png\" "\\"Rendered")
(regi\u00e3o I): <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d^2}{dr^2}u + k^2_I u = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49329b236c692239e31e4eab7a88b46e_l3.png\" "\\"Rendered")
(7)<\/p>\n\n\n\n
e, para ![\"r>R\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84ae931f134baf29984f2ec3b321f6a1_l3.png\" "\\"Rendered")
(regi\u00e3o II): <\/p>\n\n\n\n
![\"\frac{d^2}{dr^2}u - k^2_{II} u = 0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08fb66d71e2b15f500576f5906a4b0de_l3.png\" "\\"Rendered")
(8)<\/p>\n\n\n\n
com ![\"k^2_I = \frac{2\mu}{\hbar^2}\left( V_0 - E_B \right)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0608575af24df3d6eb7b127eb305a3b5_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"k^2_{II} = \frac{2\mu}{\hbar^2}E_B\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4df6f3d75cc22e2b0806fa6e46b4d33f_l3.png\" "\\"Rendered")
. As solu\u00e7\u00f5es de (7) e (8), considerando que ![\"u(0)=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5ae5492ff169ebd7bac80a32228e3c74_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00e3o, respectivamente: <\/p>\n\n\n\n
![\"\begin{array}{l} u_I(r) = A \sin{(k_Ir)} \ \ u_{II}(r) = B\exp{(-k_{II}r)} \ \end{array}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-266077aa37a39b6bebcefeb7bdfc061c_l3.png\" "\\"Rendered")
(9)<\/p>\n\n\n\n
Aplicando as condi\u00e7\u00f5es de contorno em ![\"r=R\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b3dae8f51865369d751258cab4f4d16_l3.png\" "\\"Rendered")
para a continuidade da fun\u00e7\u00e3o de onda e sua derivada, temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"\begin{array}{l} Ak_I\cos(k_IR) = -Bk_{II}\exp(-k_{II}R) \ \ A\sin(k_IR) = B\exp(-k_{II}R) \ \end{array}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9ef3e1e18da5446a6a32f6edbf854696_l3.png\" "\\"Rendered")
(10)<\/p>\n\n\n\n
Dividindo as duas equa\u00e7\u00f5es temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"k_I \cot(k_IR) = -k_{II}\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2a1036f7a21edba355e76726e198191_l3.png\" "\\"Rendered")
(11)<\/p>\n\n\n\n
Resolvendo numericamente ou graficamente (11), usando os dados experimentais para ![\"E_B\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1b6f194de2fc96f53737659510aeb81c_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"R\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b32c119d2c0bfea3118413dc5fdb1494_l3.png\" "\\"Rendered")
, obtemos que o valor da profundidade do po\u00e7o de potencial \u00e9 ![\"V_0 \sim 34\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1325e6b50d98281b2d52af6c1599dfd1_l3.png\" "\\"Rendered")
MeV. Pode-se mostrar (exerc\u00edcio) que n\u00e3o existe outro estado ligado para o d\u00eauteron com momento angular nulo. Nesse caso, pode-se inferir que em outros momentos angulares a situa\u00e7\u00e3o torna-se pior por conta do potencial centr\u00edfugo que surge quando o momento angular n\u00e3o \u00e9 nulo.<\/p>\n\n\n\n
N\u00f3s j\u00e1 vimos, contudo, que o estado ![\"{}^{3}S_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-659e22ddc8ca6cf29c90d6330388cf22_l3.png\" "\\"Rendered")
sozinho (ver in\u00edcio das notas) n\u00e3o consegue explicar o momento de dipolo magn\u00e9tico do d\u00eauteron, apesar de fornecer um valor pr\u00f3ximo. Pode-se argumentar que ![\"g_s\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a42714570ec7c691736b5ca0684dca2_l3.png\" "\\"Rendered")
seja diferente para o estado ligado desses nucleons mas esse estado tamb\u00e9m n\u00e3o consegue explicar o modelo de quadrupolo el\u00e9trico experimental do d\u00eauteron. Assim, vamos tentar construir uma fun\u00e7\u00e3o de onda para o d\u00eauteron atrav\u00e9s de uma mistura de estados de momento angular, impondo a restri\u00e7\u00e3o que o momento angular total observado para esse estado ligado \u00e9 . As poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de momento angular e spin para s\u00e3o: <\/p>\n\n\n\n
\n\n <\/span> <\/span>![\"\[\begin{array}{l l} {}^{3}S_1 & \ell = 0, S = 1 \\ {}^{3}D_1 & \ell = 2, S =1 \\ {}^{1}P_1 & \ell = 1, S =0 \\ {}^{3}P_1 & \ell = 1, S =1 \\ \end{array} \]\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-449b8f88001b0ce4da776599bf05eacf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p> (12)<\/code><\/pre>\n<\/div>\n\n\n\nPelo fato do d\u00eauteron possuir paridade definida, podemos misturar apenas estados de mesma paridade. Assim, as poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es s\u00e3o e ![\"{}^{3}D_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-70db996cdc345955714ff7113c2f7bf1_l3.png\" "\\"Rendered")
(estados pares) ou ![\"{}^{1}P_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b314ccb0bc87c0816051058533de4d81_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"{}^{3}P_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dad8fbe9e7942406706ce3f981875a5f_l3.png\" "\\"Rendered")
(paridade \u00edmpar). Sabemos que o estado S<\/em> pode explicar grande parte do momento de dipolo magn\u00e9tico. Assim, vamos explorar apenas a primeira combina\u00e7\u00e3o poss\u00edvel.<\/p>\n\n\n\nO problema consiste em achar a fun\u00e7\u00e3o de onda para essa combina\u00e7\u00e3o de estados. N\u00f3s sabemos as fun\u00e7\u00f5es de onda para estados bem definidos ![\"|\ell\, m_{\ell}\, s\, m_s\, \rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-487760eeda45643f900ec1c1dd49416a_l3.png\" "\\"Rendered")
, que s\u00e3o harm\u00f4nicos esf\u00e9ricos ou matrizes de Pauli para estados de spin 1\/2. Contudo, sabemos que o estado do d\u00eauteron \u00e9 definido pela fun\u00e7\u00e3o de onda ![\"|\ell\, s\, J\, m_J\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e73b2015ed61c061f8dca18bdbee75b8_l3.png\" "\\"Rendered")
. Assim, devemos escrever essa \u00faltima como combina\u00e7\u00e3o de estados das outras. Al\u00e9m disso devemos considerar que o estado de spin do d\u00eauteron consiste na soma do spin de dois nucleons. Para a combina\u00e7\u00e3o de estado S<\/em> e D<\/em>, temos que o spin total \u00e9 sempre 1. Nesse caso, antes de encontrar a fun\u00e7\u00e3o de onda total com vamos encontrar apenas a parte de spin. Nesse caso, queremos encontrar o estado de spin ![\"|s_p\, s_n\, S\, m_S\rangle = |\tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1 m_S\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cf03747321c94dbadd841e5695bfc8b_l3.png\" "\\"Rendered")
. Para ![\"S=1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aa25e4a576689c86074e4cca69b39f0e_l3.png\" "\\"Rendered")
, podemos ter tr\u00eas fun\u00e7\u00f5es de onda distintas que correspondem a ![\"m_S=-1,0,1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-087834f3c2f13473e36ef61eb21f0873_l3.png\" "\\"Rendered")
. Em linhas gerais, usando o formalismo de somas de momento angular, podemos escrever que um estado de soma de spins \u00e9 a soma de todos os estados poss\u00edveis de spins individuais, ponderados pelos coeficientes de Clebsh-Gordam correspondentes, ou seja: <\/p>\n\n\n\n![\"| s_p\, s_n\, S\, m_S\rangle = \sum_{m_s^p,m_s^n}{C^{S\, m_S}_{s_p\, m_s^p\, s_n\, m_s^n} |s_p\, m_s^p\rangle |s_n\, m_s^n\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7514a3afadecccb9cd499a87aeb636e_l3.png\" "\\"Rendered")
(13)<\/p>\n\n\n\n
Para o estado ![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 1\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-440bb1f350ec1260f4a1f075fce5f880_l3.png\" "\\"Rendered")
s\u00f3 h\u00e1 uma combina\u00e7\u00e3o de soma poss\u00edvel, nesse caso: <\/p>\n\n\n\n
![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 1 \rangle = |p\, \tfrac{1}{2}\,\tfrac{1}{2}\,\rangle |n\, \tfrac{1}{2}\,\tfrac{1}{2}\,\rangle = u_p u_n\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-374d091aad63929faf2afeeab9a55824_l3.png\" "\\"Rendered")
(14)<\/p>\n\n\n\n
Similarmente para o estado ![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, -1\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abf456098b37c57541bd1f4821fd26e1_l3.png\" "\\"Rendered")
: <\/p>\n\n\n\n
![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, -1 \rangle = |p\, \tfrac{1}{2}\,{\tiny -}\tfrac{1}{2}\,\rangle |n\, \tfrac{1}{2}\,\tiny{-}\tfrac{1}{2}\,\rangle = d_p d_n\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3dee949ce6e4033962c29068e4d5a7e4_l3.png\" "\\"Rendered")
(15)<\/p>\n\n\n\n
No qual definimos uma nota\u00e7\u00e3o mais simples ![\"u = |\tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-059183671ba3cb7b713e44e95af7519b_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"d = |\tfrac{1}{2}\, -\tfrac{1}{2}\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c16a9a218b5e61bb950e537eaa08acf7_l3.png\" "\\"Rendered")
, em analogia ao spin up<\/em> e spin down<\/em>. No caso do estado ![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 0\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d6ca80f64a62dadc2261ed38a1e795b9_l3.png\" "\\"Rendered")
, h\u00e1 duas possibilidades de combina\u00e7\u00e3o de spins. Nesse caso, consultanto tabelas de coeficientes de acoplamento de momento angular, podemos escrever que: <\/p>\n\n\n\n![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 1\, 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(u_p d_n + d_p u_n)\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-39116c7a1a9895194abd47d565e744d3_l3.png\" "\\"Rendered")
(16)<\/p>\n\n\n\n
As equa\u00e7\u00f5es (14), (15) e (16) representam as tr\u00eas combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis de estados tripletos de spin (![\"S=1 \rightarrow 2S+1=3\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e4aee210d83fc34d893f58f5d1ed746_l3.png\" "\\"Rendered")
). O momento angular total pode ser obtido, para os estados e , acoplando os estados de momento angular orbital com as fun\u00e7\u00f5es de onda de spin total.<\/p>\n\n\n\n
Para o estado a situa\u00e7\u00e3o \u00e9 bem simples. Como o momento de dipolo magn\u00e9tico \u00e9 calculado na situa\u00e7\u00e3o ![\"m_J=J\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5aaaf4452c0dc8612a920fc503d60e2c_l3.png\" "\\"Rendered")
, e como a onda com ![\"\ell=0\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a85358dc340a8258c0afaf82115e8b28_l3.png\" "\\"Rendered")
n\u00e3o \u00e9 degenerada, h\u00e1 apenas uma combina\u00e7\u00e3o poss\u00edvel. Assim: <\/p>\n\n\n\n
![\"| {}^{3}S_1 \rangle = Y_{0\,0} u_p u_n\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9363ec5ff0378f0fe3c23b5f22c89e39_l3.png\" "\\"Rendered")
(17)<\/p>\n\n\n\n
Para o estado , os \u00fanicos termos que contribuem para ![\"m_J=1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-062fcfeda558f8169aebe039c636031c_l3.png\" "\\"Rendered")
comp\u00f5em o seguinte estado: <\/p>\n\n\n\n
![\"| {}^{3}D_1 \rangle = \sqrt{\frac{3}{5}}Y_{2\,2} d_p d_n -\sqrt{\frac{3}{10}}Y_{2\,1}\frac{1}{\sqrt{2}}(u_p d_n + d_p u_n) +\sqrt{\frac{1}{10}}Y_{2\,0} u_p u_n\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8c6bef551910e408a94c75ba3c3558fd_l3.png\" "\\"Rendered")
(18)<\/p>\n\n\n\n
Como visto anteriormente, o operador de momento de dipolo magn\u00e9tico pode ser escrito como um termo orbital, que atua somente sobre o pr\u00f3ton e um termo de spin, atuando sobre pr\u00f3ton e n\u00eautron. Assim, <\/p>\n\n\n\n
![\"\mu_z = (g_{\ell}\ell_z^p + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-23675a46a97f95fe22374a14bc8e4bef_l3.png\" "\\"Rendered")
(19)<\/p>\n\n\n\n
Como o momento angular do pr\u00f3ton \u00e9 metade do momento angular relativo no centro de massa, temos: <\/p>\n\n\n\n
![\"\mu_z = (\frac{1}{2}g_{\ell}\ell_z + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-210b5f3bdde60127e0f247dbeee36f9a_l3.png\" "\\"Rendered")
(20)<\/p>\n\n\n\n
A contribui\u00e7\u00e3o de momento de dipolo para o estado vale: <\/p>\n\n\n\n
![\"\langle {}^{3}S_1 | (\frac{1}{2}g_{\ell}\ell_z + g_s^p S_z^p + g_s^n S_z^n)\mu_N | {}^{3}S_1 \rangle = \frac{1}{2} (g_s^p + g_s^n)\mu_N = 0.88\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbda9231aa6213d020f3e2726654dba5_l3.png\" "\\"Rendered")
(21)<\/p>\n\n\n\n
O mesmo pode ser feito para o estado , obtendo-se o resultado ![\"0.31\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf1b5ddac16339f7f8c87efeb7296e81_l3.png\" "\\"Rendered")
(exerc\u00edcio). O momento de dipolo magn\u00e9tico experimental do d\u00eauteron \u00e9 ![\"\sim 0.857\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afca028b5c7cdee09b52a015f7bf536f_l3.png\" "\\"Rendered")
, intermedi\u00e1rio entre os valores desses dois estados pares. Assim, podemos admitir que a fun\u00e7\u00e3o de onda do d\u00eauteron \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o desses dois estados, ou seja: <\/p>\n\n\n\n
![\"|d\rangle = C_{{}^3S_1}|{}^3S_1\rangle + C_{{}^3D_1}|{}^3D_1\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-221870fffc219367df8b61943ae84d3e_l3.png\" "\\"Rendered")
(22)<\/p>\n\n\n\n
onde: <\/p>\n\n\n\n
![\"\langle d| \mu_z |d\rangle = C^2_{{}^3S_1}0.88\mu_N + C^2_{{}^3D_1}0.31\mu_N = 0.857\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74f8f28b042dceab8be5eeece9567bb5_l3.png\" "\\"Rendered")
(23)<\/p>\n\n\n\n
Considerando que a fun\u00e7\u00e3o de onda do d\u00eauteron deve ser normalizada, ou seja ![\"\langle d|d \rangle = 1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b874e096c70c957a327d0395d4af6ba9_l3.png\" "\\"Rendered")
, chega-se ao resultado ![\"C^2_{{}^3S_1} = 0.96\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6fcc3473884942acf7c1bb53eb481ffd_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"C^2_{{}^3D_1} = 0.04\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f990deae4c9bbc8c20fef9979e936e56_l3.png\" "\\"Rendered")
.<\/p>\n\n\n\n
Resultado similar pode ser obtido considerando o momento de quadrupolo el\u00e9trico (exerc\u00edcio). Contudo, o importante desse trabalho \u00e9 concluir que o d\u00eauteron \u00e9 formado da combina\u00e7\u00e3o de dois estados de momento angular orbital diferentes, apesar da contribui\u00e7\u00e3o de ![\"\ell=2\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-170cc7be812333ef82c7ca96ac5c1488_l3.png\" "\\"Rendered")
ser bastante pequena. Isso ter\u00e1 consequ\u00eancias importantes no entendimento das for\u00e7as nucleares. O d\u00eauteron n\u00e3o \u00e9 um estado de momento angular orbital \u00fanico. Assim, momento angular orbital n\u00e3o \u00e9 uma constante de movimento. Veremos o efeito disso a seguir. <\/p>\n\n\n\n
Exerc\u00edcios<\/h3>\n\n\n\n\n- Mostre que, no caso do d\u00eauteron, considerando o potencial de intera\u00e7\u00e3o com profundidade de 34 MeV e raio igual ao raio do d\u00eauteron, h\u00e1 somente um estado ligado.<\/li>\n\n\n\n
- Mostre que uma combina\u00e7\u00e3o de estados
![\"{}^3P_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bc5a8454e639087e7905ff14e39ff88f_l3.png\" "\\"Rendered")
e ![\"{}^1P_1\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5eb2d57ca0336c4b42eddd2784ccce44_l3.png\" "\\"Rendered")
n\u00e3o \u00e9 capaz de explicar o momento de dipolo magn\u00e9tico do d\u00eauteron.<\/li>\n\n\n\n - Mostre que
![\"\langle {}^{3}D_1|\mu_z|{}^{3}D_1\rangle = 0.31\mu_N\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-149dc339073d5b30450e96e61dadd4f4_l3.png\" "\\"Rendered")
. Dica: Obtenha a fun\u00e7\u00e3o de onda de spin para o estado ![\"| \tfrac{1}{2}\, \tfrac{1}{2}\, 0\, 0\rangle\"](\"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45a5dc1b022b455016866dbb4497cabd_l3.png\" "\\"Rendered")
. Esse estado aparece quando se calcula esse valor esperado.<\/li>\n\n\n\n - Obtenha a fra\u00e7\u00e3o de mistura de estados e a partir do c\u00e1lculo de momento de quadrupolo el\u00e9trico. Compare com o resultado obtido nessa aula.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
Leitura recomendada<\/h3>\n\n\n\n\n- Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, cap\u00edtulo 4.1.<\/li>\n\n\n\n
- Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 F\u00edsica Nuclear, H. Schechter e C. A. Bertulani, cap\u00edtulos 2.1-2.4.<\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Vamos estudar em detalhes o d\u00eauteron. A partir da constru\u00e7\u00e3o de um modelo simples para a intera\u00e7\u00e3o entre pr\u00f3ton e n\u00eautron, comparando os resultados desse modelo com medidas experimentais de elevada precis\u00e3o, tentaremos inferir propriedades sobre as for\u00e7as nucleares fortes que tornam o n\u00facleo est\u00e1vel.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[],"class_list":["post-268","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-notas_nuclear"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"suaide","author_link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/author\/suaide\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Vamos estudar em detalhes o d\u00eauteron. A partir da constru\u00e7\u00e3o de um modelo simples para a intera\u00e7\u00e3o entre pr\u00f3ton e n\u00eautron, comparando os resultados desse modelo com medidas experimentais de elevada precis\u00e3o, tentaremos inferir propriedades sobre as for\u00e7as nucleares fortes que tornam o n\u00facleo est\u00e1vel.","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=268"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":286,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/268\/revisions\/286"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=268"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=268"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=268"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}