{"id":456,"date":"2012-08-24T10:10:00","date_gmt":"2012-08-24T13:10:00","guid":{"rendered":"http:\/\/247@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-06-13T11:13:54","modified_gmt":"2025-06-13T14:13:54","slug":"testes-de-hipoteses-o-teste-z","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2012\/08\/24\/testes-de-hipoteses-o-teste-z\/","title":{"rendered":"Testes de hip\u00f3teses – o teste-z"},"content":{"rendered":"

Vers\u00e3o para impress\u00e3o<\/a>n<\/center><\/p>\n

n\u00c9 comum na atividade cient\u00edfica nos depararmos com questionamentos que envolvem a compara\u00e7\u00e3o de um resultado obtido atrav\u00e9s de um experimento (ou de um trabalho te\u00f3rico), sujeito a incertezas e flutua\u00e7\u00f5es, com uma expectativa qualquer, ou com outros resultados de um outro trabalho. Por exemplo: os resultados do LHC suportam a exist\u00eancia do b\u00f3son de Higgs? O valor da acelera\u00e7\u00e3o que eu obtive \u00e9 compat\u00edvel com a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade em S\u00e3o Paulo, medida pelo IAG? Estas duas molas s\u00e3o iguais, ou seja, t\u00eam constantes el\u00e1sticas e comprimentos compat\u00edveis uma com a outra? <\/p>\n

n<\/p>\n

nPara isso, existe um t\u00f3pico de estat\u00edstica chamado infer\u00eancia, no qual um dos problemas que \u00e9 abordado neste t\u00f3pico \u00e9 o teste de hip\u00f3tese. H\u00e1 v\u00e1rios testes diferentes que dependem do tipo de amostra a ser comparada, suas propriedades e caracter\u00edsticas. Neste texto vamos discutir um pouco o teste-z. Este tem uma aplica\u00e7\u00e3o bastante limitada, pois depende de condi\u00e7\u00f5es que nem sempre (ou raramente) s\u00e3o obtidas em uma amostra. Contudo, por ser um teste bastante simples, sendo f\u00e1cil compreender os fundamentos que est\u00e3o por tr\u00e1s dele, \u00e9 bastante utilizado em disciplinas b\u00e1sicas de laborat\u00f3rio e estat\u00edstica. Antes disso vamos rever alguns conceitos de probabilidade e densidades de probabilidade.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

Probabilidade e densidade de probabilidade<\/h2>\n<\/p>\n

nPode-se definir a probabilidade [1,2]<\/a> de se obter um determinado resultado como sendo a rela\u00e7\u00e3o entre o n\u00famero de vezes que este resultado \u00e9 obtido em uma amostra e o tamanho desta amostra, quando esta \u00e9 suficientemente grande, ou seja:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(R) = \\lim_{N\\rightarrow\\infty}{\\frac{N(R)}{N}}n<\/center>n<\/p>\n

nonde R \u00e9 o resultado que queremos calcular a probabilidade de ocorr\u00eancia. Em geral esse resultado \u00e9 definido em termos de um intervalo: qual a probabilidade de encontrar um aluno ingressante na USP entre 35 e 40 anos? Por conta disso, vamos definir a probabilidade de encontrar, em uma amostra suficientemente grande, um resultado no intervalo de x e x+\\Delta x como sendo [1]<\/a>:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(x,x+\\Delta x) = \\lim_{N\\rightarrow\\infty}{\\frac{N(x,x+\\Delta x)}{N}}n<\/center>n<\/p>\n

n\u00c9 obvio que, quanto mais amplo o intervalo, maior a probabilidade de encontrar um resultado neste intervalo. Para eliminar essa depend\u00eancia, define-se a fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade (F.D.P.) de tal forma que a probabilidade de encontrar um resultado em um intervalo entre x e x+\\Delta x e [1]<\/a>:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(x,x+\\Delta x) = \\int_{x}^{x+\\Delta x}{H(xn<\/center>n<\/p>\n

nSendo H(x) a densidade de probabilidade de ocorrer um evento x. Podemos escrever ent\u00e3o que a fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade \u00e9:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nH(x) = \\lim_{\\Delta x\\rightarrow 0}{\\frac{P(x,x+\\Delta x)}{\\Delta x}}n<\/center>n<\/p>\n

nPor ter um significado de densidade, a fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade \u00e9 sempre positiva. Ademais, podemos escrever que, como a probabilidade de ocorrer qualquer evento \u00e9 1, a rela\u00e7\u00e3o:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}{H(xn<\/center>n<\/p>\n

nDeve ser sempre satisfeita. Em estat\u00edstica encontramos diversas fun\u00e7\u00f5es de densidade de probabilidade, tais como a binomial, poison, gaussiana, etc. [1,2]<\/a>, sendo esta \u00faltima bastante comum, principalmente em experimentos did\u00e1ticos.<\/p>\n

n<\/p>\n

nConhecendo-se a fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade de uma determinada grandeza \u00e9 f\u00e1cil calcular probabilidades de determinado evento ocorrer. Por exemplo, podemos pensar em responder qual \u00e9 a probabilidade de se obter, em uma medida, um valor inferior \u00e0 x_0. Conhecendo-se a F.D.P. basta resolver:n n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(x<x_0) = \\int_{-\\infty}^{x_0}{H(xn<\/center>n<\/p>\n

nnOu, por exemplo, qual \u00e9 a probabilidade de um determinado valor ser superior \u00e0 x_0? Da mesma forma, escrevemos:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nx_0<x<x_1. Em termos de densidade de probabilidade a resposta \u00e9:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(x_0<x<x_1) =\\int_{x_0}^{x_1}{H(xn<\/center>n<\/p>\n

nVamos tomar como exemplo uma fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade gaussiana de m\u00e9dia zero e desvio padr\u00e3o 1. Nas figuras 1 a 3 s\u00e3o mostrados alguns exemplos da rela\u00e7\u00e3o entre a integral da F.D.P. e a probabilidade de obter um evento em determinada regi\u00e3o.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 1 – A \u00e1rea pintada corresponde \u00e0 probabilidade de se obter um evento com x<0.75.<\/p>\n

n<\/p>\n

n
n<\/p>\n

\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 3 – A \u00e1rea pintada corresponde \u00e0 probabilidade de se obter um evento com -1.5<x<1.5.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>n<\/p>\n

Teste de hip\u00f3tese e o teste-z<\/h2>\n

nFazer um teste de hip\u00f3tese [3-5]<\/a> corresponde, em linhas gerais, \u00e0 calcular a probabilidade de a sua amostra satisfazer uma determinada hip\u00f3tese e, com base nesta probabilidade determinar a validade da hip\u00f3tese efetuada. Um importante conceito envolvido em testes de hip\u00f3tese \u00e9 o n\u00edvel de signific\u00e2ncia do seu resultado.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

N\u00edvel de signific\u00e2ncia<\/h3>\n

nO n\u00edvel de signific\u00e2ncia [4]<\/a> (\\alpha) corresponde a um limite de probabilidade para se rejeitar uma hip\u00f3tese. \u00c9 comum utilizar n\u00edveis de 10% (0.1), 5% (0.05) e 1% (0.01). Um teste de hip\u00f3tese vai retornar a probabilidade de o resultado obtido da sua amostra ser compat\u00edvel com a hip\u00f3tese testada. Se esta probabilidade for inferior ao n\u00edvel de signific\u00e2ncia estipulado, em linhas gerais, a hip\u00f3tese \u00e9 rejeitada. Por exemplo, um teste de hip\u00f3tese que retorna um n\u00edvel de signific\u00e2ncia de 0.01 indica que h\u00e1 uma chance em 100 de que a hip\u00f3tese testada seja verdadeira.<\/p>\n

n<\/p>\n

nUm cuidado importante: em muitas \u00e1reas da ci\u00eancia, incluindo a f\u00edsica, \u00e9 comum mostrar os n\u00edveis de signific\u00e2ncia em valores de 1-\\alpha. Neste caso, um resultado com 99% de signific\u00e2ncia em rela\u00e7\u00e3o a uma hip\u00f3tese significa que h\u00e1 uma probabilidade de 1% de rejei\u00e7\u00e3o da hip\u00f3tese. Por conta disso, \u00e9 importante ter claro como que \u00e9 definido o valor do n\u00edvel de signific\u00e2ncia (\\alpha ou 1-\\alpha). Mais importante ainda \u00e9 saber interpretar o que est\u00e1 sendo apresentado. <\/p>\n

n<\/p>\n

nEm f\u00edsica, em particular em f\u00edsica nuclear e de part\u00edculas, \u00e9 comum apresentar valores de signific\u00e2ncia em n\u00famero de sigmas (\\sigma). Por exemplo, esse resultado tem 5\\sigma de signific\u00e2ncia. Essa signific\u00e2ncia, em n\u00fameros de sigma, \u00e9 obtida pressupondo que a fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade da grandeza estudada \u00e9 uma gaussiana de desvio padr\u00e3o \\sigma. Por exemplo, em uma gaussinana, a probabilidade de encontrarmos um valor entre \\mu-\\sigma < x<\\mu+\\sigma, sendo \\mu o valor m\u00e9dio da gaussiana, \u00e9 de aproximadamente 68% (ver figura 4). Neste caso, quando falamos que o resultado tem 1\\sigma de signific\u00e2ncia, temos impl\u00edcito que \\alpha=0.32. Um resultado de 3\\sigma de signific\u00e2ncia indica que \\alpha = 0.0027.n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 4 – N\u00edveis de signific\u00e2ncia em uma gaussiana.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nPara converter de n\u00famero de \\sigma para \\alpha, e vice-versa, define-se a fun\u00e7\u00e3o de probabilidade acumulada de uma gaussiana como sendo:n<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nP(x < x_0) = \\int_{-\\infty}^{x_0}{\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{1}{2}x<\/p>\n<\/p>\n

nn<\/center>nOu seja, a probabilidade de se obter um valor menor que x_0 para uma F.D.P. gaussiana de m\u00e9dia zero e desvio padr\u00e3o 1. Neste caso, x_0 equivale ao n\u00famero de \\sigma, ou seja, P(x < -2.5) \u00e9 a probabilidade de (x-\\mu) < 2.5\\sigma em uma gaussiana qualquer. O gr\u00e1fico da fun\u00e7\u00e3o de probabilidade acumulada para uma gaussiana \u00e9 mostrado na figura 5 e \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o universal. Encontra-se facilmente p\u00e1ginas na internet com calculadoras<\/a> para esta fun\u00e7\u00e3o, por ser muito utilizada.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 5 – Probabilidade acumulada para uma fun\u00e7\u00e3o gaussiana.<\/p>\n

n<\/center><\/p>\n

nNa tabela 1 mostramos alguns valores de probabilidade acumulada para refer\u00eancia, por serem, em geral, os mais utilizados.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nTabela 1 – Probabilidade acumulada de uma gaussiana.<\/p>\n<\/p>\n

n<\/p>\nn<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
x_0 (\\sigma)<\/center><\/td>\n

n<\/p>\n

P(x<x_0)<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

-4<\/center><\/td>\n
0.000032<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

-3<\/center><\/td>\n
0.00135<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

-2<\/center><\/td>\n
0.02275<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

-1<\/center><\/td>\n
0.1586<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

0<\/center><\/td>\n
0.5000<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

1<\/center><\/td>\n
0.8413<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

2<\/center><\/td>\n
0.9772<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

3<\/center><\/td>\n
0.9986<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/p>\n

4<\/center><\/td>\n
0.9999<\/center><\/td>\n<\/tr>\n

n<\/table>\n<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nPor exemplo, para grandes descobertas cient\u00edficas, como a do b\u00f3son de Higgs, utiliza-se 5\\sigma como n\u00edvel de signific\u00e2ncia. Este n\u00edvel de signific\u00e2ncia indica que h\u00e1 uma chance em 1,744,278 de que a observa\u00e7\u00e3o nos dados analisados no LHC seja apenas uma flutua\u00e7\u00e3o estat\u00edstica do fundo e que n\u00e3o exista nenhum novo b\u00f3son. Em f\u00edsica de part\u00edculas \u00e9 comum adotar uma signific\u00e2ncia de 3\\sigma como uma interpreta\u00e7\u00e3o para uma observa\u00e7\u00e3o de um fen\u00f4meno e 5\\sigma como o n\u00edvel necess\u00e1rio para fazer um an\u00fancio de uma descoberta. Se voc\u00ea rever os an\u00fancios do b\u00f3son de Higgs no LHC perceber\u00e1 que em 2010 eles fizeram uma observa\u00e7\u00e3o e que, em 2012, anunciaram uma descoberta. Justamente por conta do n\u00edvel de signific\u00e2ncia.<\/p>\n

n<\/p>\n

nNo dia a dia \u00e9 comum utilizar 3\\sigma, que equivale a um valor de \\alpha \\sim 0.0027, ou seja, h\u00e1 uma chance em quase 400 da hip\u00f3tese testada ser falsa. <\/p>\n<\/p>\n

nA escolha do n\u00edvel de signific\u00e2ncia \u00e9 importante porque estabelece o n\u00edvel de rigor no teste de hip\u00f3tese. Mais importante ainda \u00e9 sempre relatar qual foi o n\u00edvel de signific\u00e2ncia obtido na sua an\u00e1lise.<\/p>\n

n<\/p>\n

nMais a frente mostraremos alguns exemplos de como utilizar esta fun\u00e7\u00e3o na pr\u00e1tica.<\/p>\n

n<\/p>\n

n n<\/p>\n

Teste de uma cauda ou duas caudas<\/h3>\n

nEm um teste de hip\u00f3tese estabelece-se um n\u00edvel de signific\u00e2ncia \\alpha que \u00e9 um valor de probabilidade de a sua hip\u00f3tese ser falsa. Se a F.D.P. da sua grandeza \u00e9 sim\u00e9trica em rela\u00e7\u00e3o ao valor verdadeiro h\u00e1 tr\u00eas hip\u00f3teses estat\u00edsticas que d\u00e3o o mesmo valor de \\alpha. Duas delas correspondem a testes de uma cauda [6]<\/a>, quando olhamos essencialmente a probabilidade de o resultado assumir um valor maior (ou menor) que um certo valor e uma dessas hip\u00f3teses corresponde a um teste de duas caudas [6]<\/a> ou seja, a probabilidade de o resultado estar em um intervalo sim\u00e9trico em torno do valor verdadeiro. A escolha de qual teste \u00e9 feito depende da hip\u00f3tese a ser testada.<\/p>\n

n<\/p>\n

nNo teste de uma cauda, o n\u00edvel de signific\u00e2ncia \u00e9 referente \u00e0 probabilidade de o resultado ser maior (ou menor) que um determinado valor. Em um teste de uma cauda, \\alpha corresponde \u00e0 \u00e1rea da curva em um dos lados apenas da distribui\u00e7\u00e3o, como mostrado nas figuras 1 ou 2. Por exemplo, um teste de signific\u00e2ncia de uma cauda com n\u00edvel de signific\u00e2ncia de 0.05 para a cauda da direita significa que h\u00e1 uma probabilidade de 0.05 de o seu resultado ser maior que um determinado valor.<\/p>\n

n<\/p>\n

nEm um teste de duas caudas, o n\u00edvel de signific\u00e2ncia \u00e9 referente \u00e0 probabilidade de o resultado estar distante do valor verdadeiro nas duas dire\u00e7\u00f5es, simetricamente, como mostra a figura 3. Por exemplo, um teste de duas caudas com signific\u00e2ncia de 0.05 indica que h\u00e1 uma probabilidade de 0.025 de o seu resultado estar distante da m\u00e9dia em uma dire\u00e7\u00e3o e 0.025 dele estar distante da m\u00e9dia na outra dire\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

n<\/p>\n

nA escolha se o teste a ser feito \u00e9 de uma cauda ou duas depende da hip\u00f3tese a ser testada.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

A escolha da hip\u00f3tese<\/h3>\n

nAntes de se fazer um teste de signific\u00e2ncia, deve-se estabelecer as hip\u00f3teses que ser\u00e3o testadas. Em geral escolhe-se duas hip\u00f3teses, a principal (ou hip\u00f3tese nula, no jarg\u00e3o, H_0) e uma hip\u00f3tese contr\u00e1ria \u00e0 principal (ou hip\u00f3tese altenativa, H_1). Em geral, a hip\u00f3tese H_1 ajuda a definir se o teste \u00e9 de uma cauda ou duas. Alguns exemplos:<\/p>\n

n<\/p>\n

nA acelera\u00e7\u00e3o obtida \u00e9 compat\u00edvel com a da gravidade medida pelo IAG? Neste caso a hip\u00f3tese principal \u00e9 H_0\\rightarrow \\mu = 9.7869\\text{ m\/s}^2 e a hip\u00f3tese alternativa \u00e9 H_1\\rightarrow \\mu \\neq 9.7869\\text{ m\/s}^2.<\/p>\n

n<\/p>\n

nO valor obtido pelo meu grupo (1) \u00e9 o mesmo que o obtido pelo outro grupo (2)? Neste caso, a hip\u00f3tese principal \u00e9 H_0\\rightarrow \\mu_1 = \\mu_2 e a hip\u00f3tese alternativa \u00e9 H_1\\rightarrow \\mu_1 \\neq \\mu_2.<\/p>\n<\/p>\n

n<\/p>\n

nUma vez escolhida a hip\u00f3tese a ser testada, devemos escolher o teste de hip\u00f3tese que ser\u00e1 realizado. H\u00e1 v\u00e1rios testes dispon\u00edveis e a escolha de qual teste \u00e9 o mais adequado depende do tipo de amostra que temos e do nosso conhecimento da F.D.P. desta amostra.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

O teste-z<\/h3>\n

nO teste-z \u00e9 um teste de hip\u00f3tese para um valor m\u00e9dio de uma amostra de tamanho N que tenha uma F.D.P. gaussiana e quando se conhece o desvio padr\u00e3o verdadeiro da F.D.P. da grandeza amostrada<\/em><\/strong> \\tilde{\\sigma}. Na pratica, quase nunca se conhece o valor verdadeiro do desvio padr\u00e3o da F.D.P de uma grandeza. Ele \u00e9 geralmente estimado a partir da pr\u00f3pria amostra utilizando a express\u00e3o:<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n\\sigma = \\sqrt{\\frac{1}{N-1}\\sum_{i=1}^{N}{(x-\\bar{x})^2}}n<\/center><\/p>\n

nEnt\u00e3o, \u00e0 rigor, o teste-z nunca pode ser utilizado. Neste caso, deve-se utilizar o teste-t de Student [7]<\/a>, que veremos em momento oportuno. Contudo, na medida em que n\u00famero de dados da amostra aumenta, o teste-t converge para o teste-z. Tipicamente uma amostra com tamanho maior que N \\sim 30 \u00e9 grande o suficiente para utilizar o teste-z. Em laborat\u00f3rios did\u00e1ticos este n\u00famero acaba sendo ainda mais relaxado para N\\sim 10 como um compromisso de se ganhar em did\u00e1tica com uma pequena perda de precis\u00e3o estat\u00edstica.<\/p>\n

n<\/p>\n

nO teste-z consiste em calcular uma vari\u00e1vel Z que tenha uma F.D.P. gaussiana de m\u00e9dia 0 e desvio padr\u00e3o 1.<\/em><\/strong> Esta vari\u00e1vel Z \u00e9 equivalente ao n\u00edvel de signific\u00e2ncia em termos de n\u00famero de \\sigma para uma gaussiana. <\/p>\n

n<\/p>\n

nA import\u00e2ncia de se conhecer o desvio padr\u00e3o verdadeiro da amostra surge quando se calcula o valor Z. No c\u00e1lculo de Z, em geral, subtrai-se a hip\u00f3tese do valor a ser testado e divide-se pelo desvio padr\u00e3o do mesmo. Se for conhecido o valor verdadeiro desse desvio padr\u00e3o, a F.D.P. da vari\u00e1vel Z \u00e9 uma gaussiana de m\u00e9dia 0 e desvio padr\u00e3o 1. Se o desvio padr\u00e3o for estimado a partir da amostra de dados, a F.D.P. da vari\u00e1vel Z n\u00e3o \u00e9 mais gaussiana e sim uma F.D.P. de Student (a menos do limite de uma amostra grande, como discutido anteriormente). <\/p>\n

n<\/p>\n

nA melhor forma de explicar o teste-z \u00e9 atrav\u00e9s de exemplos. Vamos fazer alguns, passo a passo.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

Exemplo 1 – Comparando um resultado a uma expectativa <\/h4>\n

nFoi realizado um experimento onde mediu-se a acelera\u00e7\u00e3o de um corpo em queda livre. Foram realizadas 30 medidas de acelera\u00e7\u00e3o e a an\u00e1lise estat\u00edstica mostrou que o valor m\u00e9dio dessa amostra \u00e9 9.746 m\/s2<\/sup> com desvio padr\u00e3o de 0.12 m\/s2<\/sup>. A incerteza do valor m\u00e9dio, por conta disso \u00e9 \\sigma_m = \\sigma\/\\sqrt{N}=0.022. Este valor \u00e9 compat\u00edvel com o valor tabelado do IAG para a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade, que vale 9.7864 m\/s2<\/sup>?<\/p>\n

n<\/p>\n

nO primeiro passo \u00e9 identificar a hip\u00f3tese nula H_0 a ser testada. Esta hip\u00f3tese \u00e9 simplesmente H_0\\rightarrow \\mu = 9.7864. Queremos testar esta hip\u00f3tese contra o valor m\u00e9dio da acelera\u00e7\u00e3o obtida das 30 medidas. A hip\u00f3tese alternativa, H_1\\rightarrow \\mu \\neq 9.7864, sugere o uso de um teste de duas caudas. <\/p>\n<\/p>\n

nnO segundo passo \u00e9 definir o n\u00edvel de signific\u00e2ncia para rejeitar esta hip\u00f3tese. Isso depende de qu\u00e3o rigoroso voc\u00ea quer ser na rejei\u00e7\u00e3o da sua hip\u00f3tese. Vamos adotar 3\\sigma de signific\u00e2ncia.<\/p>\n

n<\/p>\n

nnA F.D.P. do valor m\u00e9dio da acelera\u00e7\u00e3o medida \u00e9 assumida como sendo uma gaussiana de m\u00e9dia \\bar{a}=9.726\\text{ m\/s}^2 e desvio padr\u00e3o \\sigma_m = \\sigma\/\\sqrt{N} = 0.022\\text{ m\/s}^2. A vari\u00e1vel Z, que tenha F.D.P. com m\u00e9dia zero e desvio padr\u00e3o 1 \u00e9, neste caso:<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nZ = \\frac{\\bar{a}-\\mu}{\\sigma_m} = -1.84n<\/center><\/p>\n

nnDe acordo com o n\u00edvel de signific\u00e2ncia de 3\\sigma n\u00e3o podemos rejeitar a hip\u00f3tese de que o nosso valor m\u00e9dio \u00e9 compat\u00edvel com a acelera\u00e7\u00e3o da gravidade pois |Z|<3. Para este valor de |Z| =1.84 h\u00e1 uma chance em aproximadamente 150 desta diferen\u00e7a ser uma flutua\u00e7\u00e3o estat\u00edstica, para qualquer um dos lados. A conclus\u00e3o deste teste \u00e9 que n\u00e3o h\u00e1 evid\u00eancias suficientes que sugiram que a acelera\u00e7\u00e3o medida no laborat\u00f3rio seja diferente da acelera\u00e7\u00e3o da gravidade medida no IAG em uma signific\u00e2ncia de 3\\sigma.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

Exemplo 2 – Comparando dois resultados experimentais<\/h4>\n

nNeste exemplo vamos fazer a compara\u00e7\u00e3o entre dois resultados experimentais. Note que o teste-z s\u00f3 \u00e9 v\u00e1lido se conhecermos o desvio padr\u00e3o das F.D.P. de ambas medidas, caso contr\u00e1rio devemos utilizar o teste-t. A menos que os desvios padr\u00e3o sejam estimados de amostras muito grandes de dados.<\/p>\n

n<\/p>\n

nNo nosso exemplo, um grupo mediu a acelera\u00e7\u00e3o de queda de um n\u00famero razoavelmente grande de dados e obteve a_1 = 9.736 \\pm 0.018\\text{ m\/s}^2. Outro grupo, com outra amostra igualmente grande, obteve a_2 = 9.845 \\pm 0.011\\text{ m\/s}^2. Os dois valores s\u00e3o compat\u00edveis em um n\u00edvel de signific\u00e2ncia de 3\\sigma?<\/p>\n

n<\/p>\n

nNeste caso, a hip\u00f3tese nula \u00e9 H_0\\rightarrow \\mu_1=\\mu_2 ou, reescrevendo, H_0\\rightarrow \\mu_1-\\mu_2 = 0. Novamente, a hip\u00f3tese alternativa, H_1\\rightarrow \\mu_1 \\neq \\mu_2, sugere um teste de duas caudas. Se a hip\u00f3tese nula for v\u00e1lida, a F.D.P. da diferen\u00e7a entre as duas medidas deve ser uma gaussiana de m\u00e9dia 0 e desvio padr\u00e3o \\sigma=\\sqrt{\\sigma_1^2+\\sigma_2^2} = 0.021 (simples propaga\u00e7\u00e3o de incertezas). Neste caso, a vari\u00e1vel Z que tem F.D.P. com m\u00e9dia 0 e desvio padr\u00e3o 1 \u00e9 calculada atrav\u00e9s de:<\/p>\n

n<\/p>\n

n

nZ = \\frac{(a_1-a_2)-(\\mu_1-\\mu_2)}{\\sqrt{\\sigma_1^2+\\sigma_2^2}} = -5.19<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nNote que o m\u00f3dulo de Z \u00e9 maior que 3, que foi o n\u00edvel de signific\u00e2ncia requerido para rejeitar a hip\u00f3tese nula. Neste caso, podemos dizer que a hip\u00f3tese de que as acelera\u00e7\u00f5es s\u00e3o iguais foi rejeitada com um n\u00edvel de signific\u00e2ncia maior do que 5\\sigma. Ou seja, a probabilidade desta diferen\u00e7a ser devido \u00e0 flutua\u00e7\u00f5es estat\u00edsticas \u00e9 menor do que uma em 1.8 milh\u00e3o.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

Refer\u00eancias<\/h2>\n

n<\/p>\n

    n<\/p>\n
  1. Tratamento estat\u00edstico de dados em f\u00edsica experimental, O. Helene, V. Vanin, Ed. Edgard Blucher ltda.n\n
  2. Fundamentos da Teoria de erros, J. H. Vuolo, Ed. Edgard Blucher ltda.n\n
  3. http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Statistical_hypothesis_testing<\/a>n\n
  4. http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Statistical_significance<\/a>n\n
  5. http:\/\/www.stat.yale.edu\/Courses\/1997-98\/101\/sigtest.htm<\/a>n\n
  6. http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/One-_and_two-tailed_tests<\/a>n\n
  7. http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Student%27s_t-test<\/a>n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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