{"id":457,"date":"2012-08-16T08:02:00","date_gmt":"2012-08-16T11:02:00","guid":{"rendered":"http:\/\/245@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-06-13T11:13:53","modified_gmt":"2025-06-13T14:13:53","slug":"a-funcao-gaussiana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2012\/08\/16\/a-funcao-gaussiana\/","title":{"rendered":"A fun\u00e7\u00e3o gaussiana"},"content":{"rendered":"

Vers\u00e3o para impress\u00e3o<\/a>n<\/center><\/p>\n

nA fun\u00e7\u00e3o gaussiana \u00e9 uma importante fun\u00e7\u00e3o de densidade de probabilidade, muito presente na f\u00edsica experimental. Ela tem a forma de um sino com a boca virado para baixo segundo a express\u00e3o:n

n<\/p>\n

nH(x) = \\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma}\\right)^2}n<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nOnde \\sigma corresponde ao desvio padr\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o e \\mu, o seu valor m\u00e9dio. A figura 1 mostra a distribui\u00e7\u00e3o gaussiana. n

n
n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 1 – Fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade gaussiana.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nPor ser uma fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade, a \u00e1rea entre dois limites da curva indica a probabilidade de encontrar a vari\u00e1vel x entre esses limites. Em particular x pode assumir um valor entre \\mu-\\sigma e \\mu+\\sigma com, aproximadamente, 68% de probabilidade.<\/p>\n

n<\/p>\n

nNeste texto vamos mostrar algumas caracter\u00edsticas da fun\u00e7\u00e3o gaussiana, o porque ela \u00e9 t\u00e3o presente na f\u00edsica experimental e uma maneira (dentre v\u00e1rias) de inferir a sua express\u00e3o matem\u00e1tica.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

O Teorema do Limite Central<\/h2>\n

nO Teorema do Limite Central \u00e9 um dos teoremas fundamentais da teoria de probabilidade e, em linhas gerais pode ser enunciado<\/a> como:<\/p>\n

n<\/p>\n

n Em uma amostra aleat\u00f3ria qualquer simples \\{X_1,X_2,X_3,...,X_n\\} de elementos independentes entre si, com distribui\u00e7\u00f5es de probabilidade bem definida com vari\u00e2ncia \\sigma^2 e m\u00e9dia \\mu, na medida em que n aumenta, a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidades do valor m\u00e9dio dessa amostra aproxima-se de uma distribui\u00e7\u00e3o gaussiana de valor m\u00e9dio \\mu e vari\u00e2ncia \\sigma^2\/n.<\/i><\/p>\n

n<\/p>\n

nEsse teorema tem um grande impacto na f\u00edsica experimental em particular e explica porque a grande maioria das distribui\u00e7\u00f5es de grandezas experimentais apresentam uma distribui\u00e7\u00e3o gaussiana. Sabemos que toda medida tem um erro associado a ela. Esse erro \u00e9, em geral, composto da soma de um n\u00famero muito grande de pequenos erros individuais, em geral, independentes. Por conta disso e, aplicando o teorema do limite central, a distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade dessa medida experimental acaba seguindo uma distribui\u00e7\u00e3o gaussiana.<\/p>\n

n<\/p>\n

nEsse teorema n\u00e3o \u00e9 simples de ser provado no n\u00edvel do curso de F\u00edsica Experimental II. Mas para quem estiver interessado h\u00e1 uma demonstra\u00e7\u00e3o formal neste link<\/a>. Contudo, podemos fazer uma “demonstra\u00e7\u00e3o” emp\u00edrica a partir de um experimento virtual simples: jogar moedas. <\/p>\n

n<\/p>\n

nUma moeda tem duas faces: cara e coroa. Para fins matem\u00e1ticos, vamos assumir que cara tem valor 1 e coroa tem valor -1. Se jogarmos uma moeda, podemos obter cara ou coroa, ou seja, 1 ou -1. Para cada moeda jogada, verificamos qual face obtemos e preenchemos um histograma com o seu valor num\u00e9rico (1 ou -1). Depois de repetir esse experimento 10000 vezes, obteremos aproximadamente 5000 vezes 1 e outras 5000 vezes, -1, conforme mostra a figura 2.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 2 – Cara ou coroa.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nAgora vamos repetir o experimento mas, ao inv\u00e9s de jogar uma moeda, jogaremos duas e somaremos os resultados. Nesse caso, temos tr\u00eas valores poss\u00edveis, -2 (coroa+coroa), 0 (cara+ coroa ou coroa+cara) ou 2 (cara+cara), sendo 0 duas vezes mais prov\u00e1vel que os demais. Repetindo o experimento 10000 vezes obtemos o resultado da figura 3.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 3 – Duas moedas.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nJogando tr\u00eas moedas temos 4 possibilidades. Repetindo o experimento 10000 vezes obtemos o histograma da figura 4.<\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 4 – Tr\u00eas moedas.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nVoc\u00ea j\u00e1 percebeu onde vamos chegar. Imagine jogando um saco de 5000 moedas. Basicamente podemos obter valores entre -5000 e +5000, cada um com diferente probabilidade. Repetimos ent\u00e3o esse experimento 10000 vezes. O resultado \u00e9 mostrado na figura 5. <\/p>\n

n<\/p>\n

n

n<\/p>\n
\"\"<\/div>\n<\/p>\n

nFigura 5 – 5000 moedas.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/center>nObter como resultado o valor 5000 ou -5000 (todas moedas cara ou todas moedas coroa) \u00e9 praticamente imposs\u00edvel. \u00c9 muito mais prov\u00e1vel obter metade cara e metade coroa, resultando em uma soma de valores nula. Note como a distribui\u00e7\u00e3o se assemelha a da figura 1, uma gaussiana. Isso \u00e9 efeito do teorema do limite central onde temos v\u00e1rias grandezas aleat\u00f3rias sendo somadas de forma independente. O engra\u00e7ado disso \u00e9 que o resultado n\u00e3o depende da distribui\u00e7\u00e3o de cada grandeza. Tanto faz se temos uma distribui\u00e7\u00e3o com duas possibilidades (cara e coroa) ou muitas possibilidades. O resultado \u00e9 sempre uma gaussiana.<\/p>\n

n<\/p>\n

n<\/p>\n

Infer\u00eancia da express\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o Gaussiana<\/h2>\n

nH\u00e1 alguns anos eu topei com uma dedu\u00e7\u00e3o da express\u00e3o para a gaussiana a partir de princ\u00edpios muito simples. Eu n\u00e3o encontrei mais a refer\u00eancia (se algu\u00e9m descobrir me avise) ent\u00e3o resolvi reproduzir esta dedu\u00e7\u00e3o aqui. Acredito que esta n\u00e3o \u00e9 uma dedu\u00e7\u00e3o muito formal como a que encontramos em geral em livros de estat\u00edstica e sim uma forma de inferir a f\u00f3rmula da gaussiana a partir de um experimento imagin\u00e1rio simples. Uma dedu\u00e7\u00e3o mais formal, onde fica claro o teorema do limite central, pode ser encontrada no livro Tratamento Estat\u00edstico de Dados em F\u00edsica Experimental<\/i>, do Otaviano Helene e Vito Vanin, no cap\u00edtulo IV.n<\/p>\n

nVamos partir de princ\u00edpios simples, tentando imaginar um experimento que consiste em atirar flechas contra um alvo. A mosca deste alvo \u00e9 a origem de um plano cartesiano x-y. Contudo, por conta da precis\u00e3o do arqueiro, nem sempre se consegue acertar a mosca. Vamos assumir que:n<\/p>\n

n<\/p>\n

    n<\/p>\n
  1. N\u00e3o h\u00e1 problemas de acur\u00e1cia, ou seja, o arqueiro, em m\u00e9dia, acerta a mosca.n\n
  2. Acertar longe da mosca \u00e9 menos prov\u00e1vel que acertar perto.n\n
  3. Os erros da posi\u00e7\u00e3o que a flecha atinge o alvo s\u00e3o independentes, ou seja, uma boa precis\u00e3o na posi\u00e7\u00e3o no eixo x n\u00e3o significa uma boa precis\u00e3o no eixo y, e vice-versa.n\n
  4. Os erros da posi\u00e7\u00e3o que a flecha atinge o alvo n\u00e3o dependem da orienta\u00e7\u00e3o do plano cartesiano. Isto \u00e9, tanto faz qual \u00e9 a dire\u00e7\u00e3o e sentido dos eixos x e y.n<\/ol>\n

    n<\/p>\n

    nUm esquema desse experimento imagin\u00e1rio \u00e9 mostrado na figura 6.<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n

    n<\/p>\n
    \"\"<\/div>\n<\/p>\n

    nFigura 6 – Esquema do experimento imagin\u00e1rio do artirador, bem como representa\u00e7\u00e3o de grandezas utilizadas no texto.<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nA probabilidade de o atirador acertar uma certa posi\u00e7\u00e3o do alvo entre x e x+\\Delta x pode ser calculada a partir da fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade em x, H(x) e vale P(x,\\Delta x) = H(x)\\Delta x, desde que H(x) n\u00e3o varie muito no intervalo \\Delta x. O mesmo pode ser aplicado ao eixo y e a probabilidade de acertar uma regi\u00e3o entre y e y+\\Delta y \u00e9 P(y,\\Delta y) = H(y)\\Delta y.n<\/p>\n

    nDeste modo, a probabilidade de acertar uma pequena regi\u00e3o quadrada do alvo, de larguras \\Delta x e \\Delta y, na posi\u00e7\u00e3o (x,y) em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem \u00e9 o produto das duas probabilidades, j\u00e1 que os erros em cada eixo s\u00e3o independentes, ou seja, P(x,y) = H(x)H(y)\\Delta x \\Delta y.n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    nO produto G(r) = H(x)H(y) corresponde \u00e0 fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade de acertar a posi\u00e7\u00e3o (x,y) e depende somente da dist\u00e2ncia \u00e0 origem, uma vez que a orienta\u00e7\u00e3o dos eixos cartesianos n\u00e3o afeta a probabilidade final do arqueiro acertar uma posi\u00e7\u00e3o do alvo. Sendo assim, eu posso orientar esses eixos em qualquer dire\u00e7\u00e3o. Uma rota\u00e7\u00e3o qualquer desses eixos em torno da origem por um \u00e2ngulo \\theta qualquer n\u00e3o deve mudar o valor de G(r). Isso significa que:n

    n
    n\\frac{d}{d\\theta}G(r) = 0n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nVamos ent\u00e3o calcular essa derivada:n

    n
    n\\frac{d}{d\\theta}G(r) = 0 = \\frac{d}{d\\theta}(H(x)H(y)) = H(y)\\frac{d}{d\\theta}H(x) + H(x)\\frac{d}{d\\theta}H(y)n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nManter o \u00e2ngulo nessa express\u00e3o n\u00e3o \u00e9 interessante, j\u00e1 que queremos obter as densidades de probabilidade em x e y. Sabemos que a convers\u00e3o de coordenadas (x,y), cartesiana, para (r,\\theta), polares, \u00e9 bastante simples, ou seja:n

    n
    nx = r\\cos(\\theta)<\/p>\n<\/p>\n

    ny = r\\sin(\\theta)n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nDe modo que:n

    n
    n\\frac{dx}{d\\theta} = -r\\sin(\\theta}) \\rightarrow d\\theta = -\\frac{dx}{r\\sin(\\theta)} = -\\frac{dx}{y}<\/p>\n<\/p>\n

    n\\frac{dy}{d\\theta} = r\\cos(\\theta}) \\rightarrow d\\theta = \\frac{dy}{r\\cos(\\theta)} = \\frac{dy}{x}<\/p>\n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nSubstituindo isso na express\u00e3o para a derivada de G(r) em \\theta obtem-se que:n

    n
    n-H(y)y\\frac{d}{dx}H(x) + H(x)x\\frac{d}{dy}H(y) = 0n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nIsolando tudo que vem de x de um lado da equa\u00e7\u00e3o e tudo de y do outro lado, chega-se \u00e0:n

    n
    n\\frac{\\frac{d}{dx}H(x)}{xH(x)} = \\frac{\\frac{d}{dy}H(y)}{yH(y)}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nO interessante desta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 que a \u00fanica forma dela ser verdadeira \u00e9 se os termos da direita e esquerda n\u00e3o dependerem mais de y e x, ou seja, forem constantes. Deste modo:n

    n
    n\\frac{\\frac{d}{dx}H(x)}{xH(x)} = \\frac{\\frac{d}{dy}H(y)}{yH(y)} = Cn<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nOnde C \u00e9 uma constante. Portanto, para achar H(x) e H(y) devemos resolver as equa\u00e7\u00f5es:n

    n
    n\\frac{d}{dx}H(x) = CxH(x)<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n\\frac{d}{dy}H(y) = CyH(y)n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nEstas equa\u00e7\u00f5es diferenciais s\u00e3o simples de resolver e t\u00eam como solu\u00e7\u00e3o (aplique essas solu\u00e7\u00e3o e veja voc\u00ea mesmo), no caso para x:n

    n
    nH(x) = Ae^{\\frac{C}{2}x^2}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nA solu\u00e7\u00e3o para y \u00e9 equivalente. A constante C deve ser negativa pois a probabilidade deve diminuir na medida em que x (ou y) aumenta. Deste modo podemos reescrever a express\u00e3o acima como:nn

    n
    nH(x) = Ae^{-\\frac{k}{2}x^2}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nonde A e k. O valor de A \u00e9 facilmente determinado sabendo-se que a integral da fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade em todo espa\u00e7o vale 1. Assim:n

    n
    n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}{H(x)dx} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}{Ae^{-\\frac{k}{2}x^2}dx} = 1n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nConsultando uma boa tabela de integrais<\/a>, \u00e9 f\u00e1cil encontrar que:n

    n
    n\\int_{-\\infty}^{+\\infty}{e^{-ax^2}dx} = \\sqrt{\\frac{\\pi}{a}}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nPor compara\u00e7\u00e3o e igualando \u00e0 1, \u00e9 f\u00e1cil ver que:n

    n
    nA = \\sqrt{\\frac{k}{2\\pi}}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nResta-nos agora determinar o valor de k. Podemos fazer isso atrav\u00e9s da defini\u00e7\u00e3o de vari\u00e2ncia:n

    n
    n\\mu \u00e9 o valor verdadeiro de uma grandeza. No nosso caso \u00e9 zero, j\u00e1 que a mosca est\u00e1 posicionada na origem do nosso sistema cartesiano. Para uma distribui\u00e7\u00e3o cont\u00ednua de possibilidades, a m\u00e9dia acima \u00e9 escrita em termos da fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade como:n
    n
    n\\sigma^2= \\int_{-\\infty}^{+\\infty}{x^2H(x)dx} = \\int_{-\\infty}^{+\\infty}{x^2Ae^{-\\frac{k}{2}x^2}dx}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nConsultando uma boa tabela de integrais<\/a>, tamb\u00e9m encontramos que:n

    n
    nk=\\frac{1}{\\sigma^2}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nOu seja, substituindo A e k na express\u00e3o para H(x) chegamos, finalmente, \u00e0:n

    n
    nH(x) = \\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{x}{\\sigma}\\right)^2}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center>nQue \u00e9 a express\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o densidade de probabilidade gaussiana, ou normal, com valor verdadeiro zero e desvio padr\u00e3o \\sigma. A generaliza\u00e7\u00e3o para valor verdadeiro (\\mu) diferente de zero corresponde somente a uma transla\u00e7\u00e3o da origem do eixo no plano cartesiano por esse valor, ou seja:n

    n
    nH(x) = \\frac{1}{\\sigma\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{1}{2}\\left(\\frac{x-\\mu}{\\sigma}\\right)^2}n<\/p>\n

    n<\/p>\n

    n<\/center><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Vers\u00e3o para impress\u00e3on nA fun\u00e7\u00e3o gaussiana \u00e9 uma importante fun\u00e7\u00e3o de densidade de probabilidade, muito presente na f\u00edsica experimental. Ela tem a forma de um sino com a boca virado para baixo segundo a express\u00e3o:nn nn n nnOnde corresponde ao desvio padr\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o e , o seu valor m\u00e9dio. A figura 1 mostra a […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[10],"tags":[],"class_list":["post-457","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-notas_fisexp"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"suaide","author_link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/author\/suaide\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Vers\u00e3o para impress\u00e3on nA fun\u00e7\u00e3o gaussiana \u00e9 uma importante fun\u00e7\u00e3o de densidade de probabilidade, muito presente na f\u00edsica experimental. Ela tem a forma de um sino com a boca virado para baixo segundo a express\u00e3o:nn nn n nnOnde corresponde ao desvio padr\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o e , o seu valor m\u00e9dio. A figura 1 mostra a…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/457","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=457"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/457\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":471,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/457\/revisions\/471"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=457"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=457"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=457"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}