{"id":459,"date":"2012-06-21T08:21:00","date_gmt":"2012-06-21T11:21:00","guid":{"rendered":"http:\/\/240@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-07-25T12:43:56","modified_gmt":"2025-07-25T15:43:56","slug":"extraindo-coeficientes-de-graficos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2012\/06\/21\/extraindo-coeficientes-de-graficos\/","title":{"rendered":"Extraindo coeficientes de gr\u00e1ficos"},"content":{"rendered":"<p>Em muitas situa\u00e7\u00f5es durante a an\u00e1lise de um gr\u00e1fico, independente do tipo de escala, observamos comportamentos aparentemente lineares. Nestas situa\u00e7\u00f5es \u00e9 razoavelmente simples obter a express\u00e3o matem\u00e1tica que representa este comportamento sem a necessidade de utilizar m\u00e9todos sofisticados ou programas de computador, utilizando apenas r\u00e9gua e opera\u00e7\u00f5es simples de uma calculadora. Vamos ver como fazer isso.<\/p>\n<h3>A ideia geral<\/h3>\n<p>Suponha que a gente tenha um conjunto de dados qualquer <img decoding=\"async\" title=\"(x,y)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png\" alt=\"(x,y)\" \/> com suas respectivas incertezas. Ap\u00f3s uma escolha adequada, seja atrav\u00e9s de uma mudan\u00e7a expl\u00edcita de vari\u00e1veis ou uma escolha de tipo de escala (log, por exemplo), obt\u00e9m-se um gr\u00e1fico com comportamento linear. Vamos denominar os eixos deste gr\u00e1fico como <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/30b94bbbad526eeb6dd345afdaeaccf8.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/d8ba4afe808679595d07bfca1e43afc6.png\" alt=\"y\" \/>, conforme a figura abaixo (o gr\u00e1fico est\u00e1 sem escala para ser bem gen\u00e9rico):<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig1_1.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>Com uma r\u00e9gua, desenha-se a reta que visualmente descreva o comportamento dos dados mostrados, como mostramos na pr\u00f3xima figura:<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig2.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>A reta desenhada na figura acima, em vermelho, pode ser parametrizada por uma express\u00e3o do tipo <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/77400ee50a6f570dfb9bec96995eddfc.png\" alt=\"y\" \/> (note as vari\u00e1veis linha). Para determinar os valores de <img decoding=\"async\" title=\"A\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png\" alt=\"A\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/> escolhemos dois pontos quaisquer nesta reta (de prefer\u00eancia bem distantes um do outro), conforme mostra a figura abaixo. Vamos denominar estes pontos com as coordenadas <img decoding=\"async\" title=\"(x_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e4a91f5595db75b1755b14360baa3736.png\" alt=\"(x_1\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"(x_2\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/03fd3dc1d2bbac296ea20a5936e55374.png\" alt=\"(x_2\" \/>.<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig3.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>Dos valores destes pontos, podemos calcular <img decoding=\"async\" title=\"A\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png\" alt=\"A\" \/> atrav\u00e9s de:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A = \\frac{\\Delta y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9965d6dd1f78a5bfd1624ae29cf3f639.png\" alt=\"A = \\frac{\\Delta y\" \/><\/center>O valor de <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/> \u00e9 aquele assumido pela reta quando <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/bc7c9bbc2588b28e76f33210680ceb92.png\" alt=\"x\" \/>. Em algumas situa\u00e7\u00f5es as escalas no gr\u00e1fico n\u00e3o permitem visualizar esta posi\u00e7\u00e3o no gr\u00e1fico. Neste caso, toma-se um dos pontos marcados e substitui-se o valor obtido para <img decoding=\"async\" title=\"A\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png\" alt=\"A\" \/>, ou seja, tomando o ponto <img decoding=\"async\" title=\"(x_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e4a91f5595db75b1755b14360baa3736.png\" alt=\"(x_1\" \/>, podemos escrever:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/19ad5f909d421f7d1476eb5ee8b98859.png\" alt=\"y_1\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"B=y_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/afb94b069654bcb119b8b53b7e409f20.png\" alt=\"B=y_1\" \/><\/p>\n<h3>Como o tipo de escala \u00e9 considerado<\/h3>\n<p>O esquema de obten\u00e7\u00e3o de coeficientes de retas valem para todos os tipos de escalas gr\u00e1ficas, bastando apenas prestar aten\u00e7\u00e3o em quem s\u00e3o as constantes que ser\u00e3o determinadas e quais s\u00e3o as mudan\u00e7as de vari\u00e1veis impl\u00edcitas nas escalas utilizadas. Vamos examinar 3 tipos de gr\u00e1ficos bastante comuns: o linear-linear (ou milimetrado), o linear-log (mono-log) e o log-log (di-log).<\/p>\n<p><b>O gr\u00e1fico linear-linear<\/b><\/p>\n<p>No gr\u00e1fico linear-linear (ou milimetrado), n\u00e3o h\u00e1 mudan\u00e7a impl\u00edcita no desenho da escala no papel, ou seja <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/792c29bdd01eba24b103e1a53acb891d.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e9a264b8ff0746cd1b01b1d7dcf78b46.png\" alt=\"y\" \/>. Veja um exemplo abaixo.<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig4_1.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>A fun\u00e7\u00e3o que melhor descreve os dados no gr\u00e1fico \u00e9 <img decoding=\"async\" title=\"y=Ax+B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/10b09799c7dbfc6154207c95a13e7675.png\" alt=\"y=Ax+B\" \/>. Vamos determinar os valores destes coeficientes. Neste caso, tomemos dois pontos quaisquer na reta ajustada <img decoding=\"async\" title=\"(x_1,y_1)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/2a86d128a9ea5da21d45a154aa75f80d.png\" alt=\"(x_1,y_1)\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"(x_2,y_2)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/473a6043d4b429b1c5f3f2b4e43f171a.png\" alt=\"(x_2,y_2)\" \/>. O coeficiente angular deste gr\u00e1fico vale, ent\u00e3o:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A = \\frac{\\Delta y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/eac9c5cd8a158141068cac3ab382a5fb.png\" alt=\"A = \\frac{\\Delta y\" \/><\/center>e o coeficiente linear corresponde ao valor de <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e9a264b8ff0746cd1b01b1d7dcf78b46.png\" alt=\"y\" \/> quando <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/1691477417df92056c7e3878fc31b498.png\" alt=\"x\" \/>. Se n\u00e3o for poss\u00edvel fazer a leitura direta deste ponto no gr\u00e1fico, fazemos:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y_1 = Ax_1+B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/414e82261e539ede50d7544cc5c79b57.png\" alt=\"y_1 = Ax_1+B\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"B=y_1-Ax_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/f460f53d808a6be2655ccb6fd2e6685e.png\" alt=\"B=y_1-Ax_1\" \/><\/p>\n<p><b>O gr\u00e1fico linear-log<\/b><\/p>\n<p>Em algumas situa\u00e7\u00f5es um dos eixos do gr\u00e1fico est\u00e1 em escala logar\u00edtmica. Pode ser o eixo x ou o eixo y, tanto faz. Neste caso, h\u00e1 uma mudan\u00e7a impl\u00edcita na escala deste eixo, j\u00e1 que a dist\u00e2ncia ao longo do eixo no gr\u00e1fico \u00e9 proporcional ao logaritmo da grandeza que est\u00e1 sendo representada no eixo. Vou tratar aqui apenas do caso no qual este eixo \u00e9 o eixo y. Mas a mesma ideia se aplica no outro eixo. Um exemplo \u00e9 mostrado abaixo.<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig5.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>Note que os dados seguem uma tend\u00eancia visual de uma reta nesta escala. Sabendo que a mudan\u00e7a impl\u00edcita de vari\u00e1veis que esta escala proporciona \u00e9 <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/792c29bdd01eba24b103e1a53acb891d.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/4e131ec15030fcf8a5f6be0606b5a067.png\" alt=\"y\" \/>, qual a fun\u00e7\u00e3o que, quando desenhada nesta escala, assume a apar\u00eancia de reta? Vamos tomar a fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y= Ce^{Dx}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/1f61062a2aa40e2a1d90efcd0940e1bb.png\" alt=\"y= Ce^{Dx}\" \/><\/center>Vamos agora tomar o logaritmo desta express\u00e3o, ou seja:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log (Ce^{Dx})\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/603f00bda57b8e31ef12b97a6cfa2587.png\" alt=\"\\log y = \\log (Ce^{Dx})\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log C + \\log (e^{Dx})\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/fcbf8a97dc1c4ddde0ff443dd24f2f39.png\" alt=\"\\log y = \\log C + \\log (e^{Dx})\" \/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log C + Dx\\log (e)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/649021f7efed3c49fdf116dfab697336.png\" alt=\"\\log y = \\log C + Dx\\log (e)\" \/><\/p>\n<p>Fazendo a escolha <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/792c29bdd01eba24b103e1a53acb891d.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/4e131ec15030fcf8a5f6be0606b5a067.png\" alt=\"y\" \/> a express\u00e3o acima resulta em:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/f63c27e3d14f1a6957d5fdbcbf4e8bf7.png\" alt=\"y\" \/><\/center>que \u00e9 uma reta onde <img decoding=\"async\" title=\"A = D\\log(e)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/fb89bc7e2c83a72248bcb19038e5ae44.png\" alt=\"A = D\\log(e)\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"B=\\log C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/695fb22a8128df4595cbb97fcad172f2.png\" alt=\"B=\\log C\" \/>.<\/p>\n<p>Segundo o nosso padr\u00e3o, o coeficiente angular \u00e9 dado por:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A = \\frac{\\Delta y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/b3636a709898f27a4ebb1bae4c30e3b8.png\" alt=\"A = \\frac{\\Delta y\" \/><\/center>Tomando dois pontos quaisquer na reta ajustada aos dados, <img decoding=\"async\" title=\"(x_1,y_1)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/2a86d128a9ea5da21d45a154aa75f80d.png\" alt=\"(x_1,y_1)\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"(x_2,y_2)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/473a6043d4b429b1c5f3f2b4e43f171a.png\" alt=\"(x_2,y_2)\" \/>, e substituindo acima (note que, apesar da escala em y ser logar\u00edtmica, n\u00f3s lemos o valor de y diretamente e n\u00e3o o valor do seu logaritmo):<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A =  \\frac{\\log y_2 - \\log y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{\\log \\frac{y_2}{y_1}}{x_2 - x_1}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/46d52bcd1c671cfd9dbfdb6f310d500d.png\" alt=\"A =  \\frac{\\log y_2 - \\log y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{\\log \\frac{y_2}{y_1}}{x_2 - x_1}\" \/><\/center>Como <img decoding=\"async\" title=\"A = D\\log(e)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/fb89bc7e2c83a72248bcb19038e5ae44.png\" alt=\"A = D\\log(e)\" \/>, temos que:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"D =  \\frac{1}{\\log (e)}\\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{ x_2 - x_1}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/365ed846b21d93f86714f07729fe8313.png\" alt=\"D =  \\frac{1}{\\log (e)}\\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{ x_2 - x_1}\" \/><\/center>Vamos agora pensar em determinar o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/>. Sabemos que o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/> pode ser obtida diretamente do gr\u00e1fico do valor de <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/d8ba4afe808679595d07bfca1e43afc6.png\" alt=\"y\" \/> na reta quando <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/bc7c9bbc2588b28e76f33210680ceb92.png\" alt=\"x\" \/>. Como <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/f5b987a306234d8a271066273249c0ff.png\" alt=\"x\" \/>, basta ler o valor na reta que cruza <img decoding=\"async\" title=\"x=0\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png\" alt=\"x=0\" \/>. Como, tamb\u00e9m, na escala, n\u00f3s lemos diretamente <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/415290769594460e2e485922904f345d.png\" alt=\"y\" \/> e n\u00e3o o seu logaritmo, o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/> \u00e9 aquele no qual a reta assume o valor para <img decoding=\"async\" title=\"x=0\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png\" alt=\"x=0\" \/>.<\/p>\n<p>Quando n\u00e3o for poss\u00edvel fazer esta leitura direta do gr\u00e1fico, basta aplicar nossa defini\u00e7\u00e3o para a constante <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/>, o que resulta em:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"B = y_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/734ff1a5b44c92f0e16fb6e8c9d7d7c6.png\" alt=\"B = y_1\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"B = \\log y_1 - Ax_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/99bb782d7c21512309e8fa6a76272b45.png\" alt=\"B = \\log y_1 - Ax_1\" \/><\/p>\n<p>Como <img decoding=\"async\" title=\"B = \\log C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/05deb34153dbfdf2100a7a60221705c9.png\" alt=\"B = \\log C\" \/> temos que:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"C = 10^{B}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0e4978637ac31c86afcc36b1c6bf091d.png\" alt=\"C = 10^{B}\" \/><\/center><\/p>\n<p>Ou seja, determinamos o valor das constantes <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"D\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png\" alt=\"D\" \/>, como quer\u00edamos inicialmente.<\/p>\n<p><b>O gr\u00e1fico log-log<\/b><\/p>\n<p>Vamos olhar a situa\u00e7\u00e3o na qual ambos eixos s\u00e3o logar\u00edtmicos. Neste caso, as mudan\u00e7as de vari\u00e1veis s\u00e3o, implicitamente, <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/776d0486f4df59c7fcd498258a911b66.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/4e131ec15030fcf8a5f6be0606b5a067.png\" alt=\"y\" \/>. Um exemplo deste tipo de gr\u00e1fico \u00e9 mostrado abaixo.<\/p>\n<div class=\"pivotx-wrapper\"><img decoding=\"async\" class=\"pivotx-image\" title=\"\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/files\/2012-06\/fig6.png\" alt=\"\" width=\"400\" \/><\/div>\n<p>Em algumas situa\u00e7\u00f5es, como na apresentada acima, o comportamento dos dados, por conta da escolha de escalas, aparenta uma reta. Qual fun\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica que, nesta escala, torna-se uma reta? Qual a equa\u00e7\u00e3o (valores dos par\u00e2metros) desta fun\u00e7\u00e3o (no caso, a linha vermelha)? Vamos tomar a fun\u00e7\u00e3o:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y= Cx^{D}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/3f162d8a85ad61bf559e383f3e620a32.png\" alt=\"y= Cx^{D}\" \/><\/center>Vamos agora tomar o logaritmo desta express\u00e3o, ou seja:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log (Cx^{D})\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/4e9268a97b93713c619d06ce08b7909c.png\" alt=\"\\log y = \\log (Cx^{D})\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log C + \\log (x^{D})\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/d650a79fe27ac968b909737ee107f772.png\" alt=\"\\log y = \\log C + \\log (x^{D})\" \/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" title=\"\\log y = \\log C + D\\log (x)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/50abf8b2bbb9b06ffad0a3a101604a2b.png\" alt=\"\\log y = \\log C + D\\log (x)\" \/><\/p>\n<p>Fazendo a escolha <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/776d0486f4df59c7fcd498258a911b66.png\" alt=\"x\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/4e131ec15030fcf8a5f6be0606b5a067.png\" alt=\"y\" \/> a express\u00e3o acima resulta em:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/bbb1815c279986585aba7e7a5ec43c79.png\" alt=\"y\" \/><\/center>que \u00e9 uma reta onde <img decoding=\"async\" title=\"A = D\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/c3207665d18d5c24e48d908556c6e250.png\" alt=\"A = D\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"B=\\log C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/695fb22a8128df4595cbb97fcad172f2.png\" alt=\"B=\\log C\" \/>.<\/p>\n<p>Segundo o nosso padr\u00e3o, o coeficiente angular \u00e9 dado por:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A = \\frac{\\Delta y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/d2170cf137fb2b7899e8ccf6fe2bdabb.png\" alt=\"A = \\frac{\\Delta y\" \/><\/center>Tomando dois pontos quaisquer na reta ajustada aos dados, <img decoding=\"async\" title=\"(x_1,y_1)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/2a86d128a9ea5da21d45a154aa75f80d.png\" alt=\"(x_1,y_1)\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"(x_2,y_2)\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/473a6043d4b429b1c5f3f2b4e43f171a.png\" alt=\"(x_2,y_2)\" \/>, e substituindo acima (note que, apesar da escala em x ey serem logar\u00edtmicas, n\u00f3s lemos os valores de x e de y diretamente e n\u00e3o o valor dos seus logaritmom):<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"A =  \\frac{\\log y_2 - \\log y_1}{\\log x_2 - \\log x_1} = \\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{\\log\\frac{x_2}{x_1}}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/63284650344c51ce7940a79b7a990c4c.png\" alt=\"A =  \\frac{\\log y_2 - \\log y_1}{\\log x_2 - \\log x_1} = \\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{\\log\\frac{x_2}{x_1}}\" \/><\/center>Como <img decoding=\"async\" title=\"A = D\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/c3207665d18d5c24e48d908556c6e250.png\" alt=\"A = D\" \/>, temos que:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"D =  \\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{\\log\\frac{x_2}{x_1}}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/26f3dcc829b773e3cd08d331f32ba3ea.png\" alt=\"D =  \\frac{\\log\\frac{y_2}{y_1}}{\\log\\frac{x_2}{x_1}}\" \/><\/center>Vamos agora pensar em determinar o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/>. Sabemos que o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/> pode ser obtida diretamente do gr\u00e1fico do valor de <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/d8ba4afe808679595d07bfca1e43afc6.png\" alt=\"y\" \/> na reta quando <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/bc7c9bbc2588b28e76f33210680ceb92.png\" alt=\"x\" \/>. Como <img decoding=\"async\" title=\"x\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/1b5fd91e07030104a2bc91a83932d60c.png\" alt=\"x\" \/>, basta ler o valor na reta que cruza <img decoding=\"async\" title=\"x=1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png\" alt=\"x=1\" \/> (pois <img decoding=\"async\" title=\"\\log 1 = 0\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/55a3af2c856a2d1c288ff9b772f992d4.png\" alt=\"\\log 1 = 0\" \/>). Como, tamb\u00e9m, na escala, n\u00f3s lemos diretamente <img decoding=\"async\" title=\"y\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/415290769594460e2e485922904f345d.png\" alt=\"y\" \/> e n\u00e3o o seu logaritmo, o valor da constante <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/> \u00e9 aquele no qual a reta assume o valor para <img decoding=\"async\" title=\"x=1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png\" alt=\"x=1\" \/>.<\/p>\n<p>Quando n\u00e3o for poss\u00edvel fazer esta leitura direta do gr\u00e1fico, basta aplicar nossa defini\u00e7\u00e3o para a constante <img decoding=\"async\" title=\"B\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png\" alt=\"B\" \/>, o que resulta em:<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"B = y_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/734ff1a5b44c92f0e16fb6e8c9d7d7c6.png\" alt=\"B = y_1\" \/><\/center><img decoding=\"async\" title=\"B = \\log y_1 - A\\log x_1\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/bea001ac3e316782945d636b5c0fc940.png\" alt=\"B = \\log y_1 - A\\log x_1\" \/><\/p>\n<p>Como <img decoding=\"async\" title=\"B = \\log C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/05deb34153dbfdf2100a7a60221705c9.png\" alt=\"B = \\log C\" \/> temos que:n<\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" title=\"C = 10^{B}\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0e4978637ac31c86afcc36b1c6bf091d.png\" alt=\"C = 10^{B}\" \/><\/center>Ou seja, determinamos o valor das constantes <img decoding=\"async\" title=\"C\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png\" alt=\"C\" \/> e <img decoding=\"async\" title=\"D\" src=\"http:\/\/picard.if.usp.br\/sampa\/blog\/pivotx\/extensions\/renderlatex\/pictures\/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png\" alt=\"D\" \/>, como quer\u00edamos inicialmente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Em muitas situa\u00e7\u00f5es durante a an\u00e1lise de um gr\u00e1fico, independente do tipo de escala, observamos comportamentos aparentemente lineares. 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