{"id":462,"date":"2012-03-01T12:50:00","date_gmt":"2012-03-01T15:50:00","guid":{"rendered":"http:\/\/230@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-06-15T18:19:44","modified_gmt":"2025-06-15T21:19:44","slug":"confeccao-de-graficos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2012\/03\/01\/confeccao-de-graficos\/","title":{"rendered":"Confec\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos"},"content":{"rendered":"

Este texto foi baseado nas apostilas \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 interpreta\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de dados, gr\u00e1ficos e equa\u00e7\u00f5es\u201d, 1990, dos Profs. Fuad Saad, Paulo Yamamura e Kazuo Watanabe; \u201cF\u00edsica Geral e Experimental para Engenharia I\u201d, 2003, dos Profs. Ewout ter Haar e Valdir Bindilati. Este texto \u00e9, tamb\u00e9m, a vers\u00e3o digital do cap\u00edtulo da apostila de Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 Medidas em F\u00edsica que eu e o Prof. Marcelo Munhoz escrevemos quando coordenamos a disciplina entre 2005 e aproximadamente 2007.<\/p>\n

Introdu\u00e7\u00e3o<\/h2>\n

Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a maneira como uma propriedade, ou quantidade, varia com rela\u00e7\u00e3o a uma outra quantidade, por exemplo:<\/p>\n

\u201cDe que modo o comprimento de um p\u00eandulo afeta o seu per\u00edodo?\u201d<\/em><\/p>\n

ou ainda:<\/p>\n

\u201cComo se comporta a for\u00e7a de atrito entre duas superf\u00edcies relativamente \u00e0 for\u00e7a normal exercida por uma superf\u00edcie sobre a outra?\u201d<\/em><\/p>\n

Tais quest\u00f5es podem ser estudadas e mais bem respondidas, muitas vezes, atrav\u00e9s de m\u00e9todos gr\u00e1ficos evidenciando, dessa forma, a depend\u00eancia de uma grandeza em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 outra. Neste cap\u00edtulo apresentaremos os principais tipos de gr\u00e1ficos dispon\u00edveis bem como t\u00e9cnicas para a sua confec\u00e7\u00e3o. Apresentaremos tamb\u00e9m alguns m\u00e9todos de an\u00e1lise gr\u00e1fica de dados de forma a poder extrair informa\u00e7\u00f5es e interpretar resultados experimentais.<\/p>\n

Tipos de gr\u00e1ficos<\/h2>\n

Os gr\u00e1ficos, de modo geral, podem ser classificados em cinco tipos b\u00e1sicos, conforme o esquema apresentado na figura 1. Dependendo do tipo de an\u00e1lise a ser realizada um tipo de gr\u00e1fico torna-se mais adequado que outro. Nos trabalhos experimentais em Ci\u00eancias s\u00e3o frequentemente utilizados gr\u00e1ficos do tipo diagrama, ou linha, conforme o apresentado na figura 2. Nesse gr\u00e1fico \u00e9 mostrado o comportamento de uma grandeza f\u00edsica, nesse caso a velocidade de um corpo, em fun\u00e7\u00e3o do tempo. Pode-se perceber facilmente que a velocidade aumenta com o passar do tempo. A grande vantagem de an\u00e1lises gr\u00e1ficas \u00e9 a interpreta\u00e7\u00e3o direta e f\u00e1cil de dados experimentais. A linha tracejada, nesse caso, representa o comportamento m\u00e9dio dos dados obtidos e representa a tend\u00eancia dos dados.<\/p>\n

\"\"<\/div>\n

Figura 1 – Principais tipos de gr\u00e1ficos.<\/center><\/p>\n
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Figura 2 – Exemplo de gr\u00e1fico linear. Nesse gr\u00e1fico, os pontos correspondem \u00e0s medidas experimentais e a linha representa o comportamento m\u00e9dio.<\/center><\/p>\n

Confec\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos<\/h2>\n

Quando s\u00e3o realizados experimentos, os dados s\u00e3o adquiridos, geralmente, de dois modos: nNo primeiro modo, quer-se examinar a depend\u00eancia de uma grandeza em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 outra, como, por exemplo, os dados apresentados na figura 2. Nesse caso, mede-se a velocidade do corpo em instantes consecutivos de tempo e analisa-se como a velocidade depende do tempo. Em medidas desse tipo, costuma-se denominar de vari\u00e1vel independente aquela que se varia, nesse caso, o tempo. A grandeza na qual se quer estudar a depend\u00eancia, nesse caso a velocidade, \u00e9 denominada de vari\u00e1vel dependente.<\/p>\n

No segundo caso, o mesmo experimento \u00e9 repetido muitas vezes nas mesmas condi\u00e7\u00f5es e, em cada um desses experimentos, repete-se a medida de uma determinada grandeza. Nesse caso, querem-se estudar as varia\u00e7\u00f5es de medidas devido \u00e0s incertezas experimentais. Um caso t\u00edpico \u00e9 a medida do per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o de um p\u00eandulo simples. Dependendo dos instrumentos utilizados, a medida simples de um \u00fanico per\u00edodo resulta, geralmente, em incertezas experimentais elevadas que podem ser minimizadas atrav\u00e9s da repeti\u00e7\u00e3o do experimento muitas vezes. Assim, a medida final seria a m\u00e9dia aritm\u00e9tica de todas as medidas efetuadas.<\/p>\n

Em ambas as situa\u00e7\u00f5es costuma-se organizar os dados em tabelas. Essas tabelas podem-se tornar demasiadamente longas e de dif\u00edcil leitura. A representa\u00e7\u00e3o desses dados em forma gr\u00e1fica mostra, de forma mais clara, as propriedades das grandezas medidas. O gr\u00e1fico mostra, igualmente, prov\u00e1veis erros experimentais e permite realizar interpola\u00e7\u00f5es e extrapola\u00e7\u00f5es de modo vis\u00edvel e f\u00e1cil.<\/p>\n

No primeiro exemplo pode-se visualizar graficamente o comportamento da velocidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo atrav\u00e9s de um gr\u00e1fico de linhas. No segundo caso, contudo, a melhor visualiza\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica \u00e9 feita atrav\u00e9s de um histograma. Nesse tipo de gr\u00e1fico \u00e9 muito simples obter grandezas como m\u00e9dia e desvio padr\u00e3o das medidas.<\/p>\n

Antes de abordar os tipos de gr\u00e1fico acima, devemos estabelecer algumas regras gerais de confec\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos. Essas regras se aplicam a quase todos os tipos dispon\u00edveis.<\/p>\n

Regras gerais para confec\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos<\/h3>\n

A constru\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos, quando feita sob regras universais, facilita significativamente a sua interpreta\u00e7\u00e3o. Nesse sentido, regras r\u00edgidas (como regras de sintaxe de uma linguagem qualquer) s\u00e3o adotadas no mundo cient\u00edfico e tecnol\u00f3gico.<\/p>\n

Todo gr\u00e1fico \u00e9 composto dos seguintes itens:<\/p>\n

    \n
  1. T\u00edtulo e legenda do gr\u00e1fico;<\/li>\n
  2. Eixos das vari\u00e1veis com os nomes das vari\u00e1veis, escalas e unidades;<\/li>\n
  3. Dados experimentais e incertezas;<\/li>\n
  4. Fun\u00e7\u00f5es te\u00f3ricas ou curvas m\u00e9dias (esse \u00faltimo item \u00e9 opcional e, dependendo das circunst\u00e2ncias, pode ser omitido);<\/li>\n<\/ol>\n

    A figura 3 mostra os principais componentes de um gr\u00e1fico.n<\/p>\n

    \"\"<\/div>\n

    Figura 3 – Componentes t\u00edpicos de um gr\u00e1fico cient\u00edfico padr\u00e3o.<\/center><\/p>\n

    T\u00edtulo e legenda do gr\u00e1fico<\/h4>\n

    Todo gr\u00e1fico dever ter um t\u00edtulo. Geralmente, o t\u00edtulo do gr\u00e1fico \u00e9 colocado na parte superior do gr\u00e1fico, em destaque. T\u00edtulos do tipo \u201cgr\u00e1fico de velocidade vs. tempo” s\u00e3o redundantes e n\u00e3o fornecem informa\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria para o entendimento do mesmo.<\/p>\n

    Caso o gr\u00e1fico seja inserido dentro de um texto, o mesmo deve ser acompanhado de uma legenda, logo abaixo do gr\u00e1fico, numerada, que explique de forma sucinta o seu conte\u00fado. No caso da presen\u00e7a de uma legenda, o t\u00edtulo do gr\u00e1fico torna-se opcional, j\u00e1 que a legenda acaba suprindo o leitor de informa\u00e7\u00e3o suficiente para o entendimento do gr\u00e1fico.<\/p>\n

    Eixos, escalas e unidades<\/h4>\n

    Os eixos de um gr\u00e1fico devem ser explicitamente desenhados. Cada um dos eixos deve conter o nome (ou s\u00edmbolo) da vari\u00e1vel representada, a escala de leitura e a unidade correspondente.<\/p>\n

    A escolha da escala utilizada deve ser tal que represente bem o intervalo medido para a vari\u00e1vel correspondente. A regra pr\u00e1tica para definir a escala a ser utilizada consiste em dividir a faixa de varia\u00e7\u00e3o da vari\u00e1vel a ser graficada pelo n\u00famero de divis\u00f5es principais dispon\u00edveis. Toma-se, ent\u00e3o, um arredondamento para um valor superior e de f\u00e1cil leitura. Esses valores s\u00e3o, em geral, 1, 2, 5 ou m\u00faltiplos\/sub-m\u00faltiplos de 10 desses valores (10; 20; 500; 0,5; etc.). A figura 4 mostra alguns exemplos de escalas do eixo de um gr\u00e1fico. M\u00faltiplos de 3 s\u00e3o de dif\u00edcil leitura e devem ser evitados.<\/p>\n

    \"\"<\/div>\n

    Figura 4 – Alguns exemplos de formas CORRETAS de desenhar eixos em um gr\u00e1fico.<\/center>As escalas de um gr\u00e1fico n\u00e3o precisam come\u00e7ar na origem (0, 0). Elas devem abranger a faixa de varia\u00e7\u00e3o que voc\u00ea quer representar. \u00c9 conveniente que os limites da escala correspondam a um n\u00famero inteiro de divis\u00f5es principais. Indique os valores correspondentes \u00e0s divis\u00f5es principais abaixo (eixo-x) ou ao lado (eixo-y) da escala utilizando n\u00fameros leg\u00edveis. As unidades devem ser escolhidas de maneira a minimizar o n\u00famero de d\u00edgitos utilizados na divis\u00e3o principal (ver a terceira escala, de cima para baixo, na figura 4. Nesse caso, utilizou-se a escala de quilo-grama). Uma regra pr\u00e1tica \u00e9 utilizar no m\u00e1ximo 3 d\u00edgitos para representar esses valores. Pode-se tamb\u00e9m fazer o uso de pot\u00eancias de 10 na express\u00e3o das unidades para simplificar a escala.<\/p>\n

    Ao tra\u00e7ar os eixos em papel gr\u00e1fico comum, n\u00e3o use a escala marcada no papel pelo fabricante. Voc\u00ea \u00e9 quem define a escala. Tamb\u00e9m evite usar os eixos nas margens do papel. Desenhe os seus pr\u00f3prios eixos. Na figura 5 s\u00e3o mostradas algumas formas INCORRETAS de desenhar eixos de gr\u00e1fico. Um erro muito comum \u00e9 colocar nos eixos os valores medidos para cada vari\u00e1vel. Esse \u00e9 um erro MUITO grosseiro que torna o gr\u00e1fico ileg\u00edvel.<\/p>\n

    \"\"<\/div>\n

    Figura 5 – Algumas formas INCORRETAS de desenhar eixo em um gr\u00e1fico.<\/center>Por fim, escreva o nome (ou s\u00edmbolo) da vari\u00e1vel correspondente ao eixo e a unidade para leitura dos valores entre par\u00eantesis (s, kg, 105<\/sup> N\/m2<\/sup>, etc.).<\/p>\n

    No final das contas, o melhor crit\u00e9rio para desenhar um eixo de um gr\u00e1fico \u00e9 o bom-senso. O teste final para saber se o eixo utilizado \u00e9 adequado \u00e9 a escolha aleat\u00f3ria de um ponto qualquer. O leitor deve ser capaz de identificar rapidamente o valor correspondente desse ponto atrav\u00e9s da leitura do eixo no gr\u00e1fico.<\/p>\n

    Representa\u00e7\u00e3o de dados<\/h4>\n

    Assinale no gr\u00e1fico a posi\u00e7\u00e3o dos pontos experimentais: use marcas bem vis\u00edveis (em geral c\u00edrculos cheios). NUNCA indique as coordenadas dos pontos graficados no eixo. Coloque as barras de incerteza nos pontos, se for o caso. Se as incertezas s\u00e3o menores que o tamanho dos pontos, indique isso na legenda.<\/p>\n

    NUNCA LIGUE OS PONTOS. S\u00e3o raras as exce\u00e7\u00f5es onde isto \u00e9 realmente necess\u00e1rio. A figura 6 mostra como desenhar os pontos experimentais em um gr\u00e1fico.<\/p>\n

    \u00c0s vezes, dependendo da an\u00e1lise a ser realizada com os dados, \u00e9 necess\u00e1rio o desenho de curvas m\u00e9dias ou fun\u00e7\u00f5es te\u00f3ricas. Essas curvas t\u00eam como utilidade permitir a extrapola\u00e7\u00e3o e\/ou interpola\u00e7\u00e3o de pontos, bem como a compara\u00e7\u00e3o entre os dados experimentais e uma previs\u00e3o te\u00f3rica. Esse ponto ser\u00e1 discutido em detalhes adiante.<\/p>\n

    \"\"<\/div>\n

    Figura 6 – Representa\u00e7\u00e3o de pontos experimentais em um gr\u00e1fico. Indique as barras de incerteza (se for o caso) em cada ponto nos eixos x e y.<\/center><\/p>\n

    Gr\u00e1ficos de linhas<\/h2>\n

    Gr\u00e1ficos de linhas s\u00e3o normalmente utilizados para representar a depend\u00eancia de uma grandeza em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 outra, como o gr\u00e1fico apresentado na figura 2 que mostra a depend\u00eancia com o tempo da velocidade de queda de um ovo. S\u00e3o muitos os tipos de gr\u00e1ficos de linhas que podem ser constru\u00eddos. Dentre os v\u00e1rios se destacam tr\u00eas tipos comumente utilizados, conforme representado na figura 7.<\/p>\n

    \"\"<\/div>\n

    Figura 7 – Principais tipos de gr\u00e1ficos de linhas utilizados no meio cient\u00edfico.<\/center>A escolha do tipo de gr\u00e1fico est\u00e1 relacionada com os objetivos que se pretende alcan\u00e7ar. Um dos fatores que pode fornecer a ajuda na escolha \u00e9 analisar a varia\u00e7\u00e3o dos dados adquiridos. Por exemplo, uma grandeza que varia entre 10 Hz e 100 kHz (100000 Hz) torna-se imposs\u00edvel de ser graficada de forma eficiente em um gr\u00e1fico linear, devido \u00e0 grande varia\u00e7\u00e3o entre um extremo e outro. Nesse caso, gr\u00e1ficos logar\u00edtmicos s\u00e3o mais adequados para representar dados desse tipo.<\/p>\n

    Escalas lineares<\/h3>\n

    Gr\u00e1ficos em escalas lineares s\u00e3o os mais simples de serem realizados. Como o pr\u00f3prio nome diz, gr\u00e1ficos em escalas lineares s\u00e3o aqueles nos quais ambos os eixos (x e y) s\u00e3o lineares, ou seja, a escala representada no eixo \u00e9 diretamente proporcional \u00e0 dist\u00e2ncia do ponto em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem do eixo. Gr\u00e1ficos em escalas lineares s\u00e3o desenhados normalmente em pap\u00e9is milimetrados, conforme mostra a figura 2.<\/p>\n

    Escalas logar\u00edtmicas<\/h3>\n

    Em muitas situa\u00e7\u00f5es \u00e9 comum fazer gr\u00e1ficos de grandezas onde a depend\u00eancia com uma outra vari\u00e1vel \u00e9 dada por express\u00f5es do tipo:<\/p>\n

    \"y(x)=A^{Bx}\" ou \"y(x)=Ax^{B}\"<\/center>Nesse caso, dependendo das constantes A e B, a grandeza y(x) pode variar muitas ordens de grandeza a partir de pequenas varia\u00e7\u00f5es de x. \u00c9 claro que, nesse caso, mudan\u00e7as de vari\u00e1veis podem ser realizadas para tornar as equa\u00e7\u00f5es acima retas. Em geral, as mudan\u00e7as de vari\u00e1veis mais comuns envolvem fun\u00e7\u00f5es logar\u00edtmicas. No passado, o c\u00e1lculo de logaritmos era bastante trabalhoso e envolvia consulta a tabelas (ou t\u00e1buas) de logaritmos, nem sempre dispon\u00edveis. Nesse sentido, foram criados pap\u00e9is gr\u00e1ficos especiais nos quais uma (ou ambas) das escalas \u00e9 graduada logaritmicamente. A escala logar\u00edtmica \u00e9 constru\u00edda de tal forma que quando uma quantidade x \u00e9 marcada nessa escala o comprimento (dist\u00e2ncia em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem do eixo) \u00e9 proporcional \u00e0 log(x). Um trecho de uma escala logar\u00edtmica \u00e9 mostrado na figura 8. Assim, a escala logar\u00edtmica \u00e9 \u00fatil quando a mudan\u00e7a de vari\u00e1vel necess\u00e1ria para linearizar o gr\u00e1fico envolver o logaritmo de um n\u00famero.<\/p>\n
    \"\"<\/div>\n

    Figura 8 – Escala logar\u00edtmica (abaixo) em compara\u00e7\u00e3o com a escala linear (acima). A escala logar\u00edtmica \u00e9 constru\u00edda de tal forma que quando uma quantidade x \u00e9 marcada nessa escala o comprimento (dist\u00e2ncia em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 origem do eixo) \u00e9 proporcional a log(x).<\/center>
    <\/center>Devido \u00e0 forma na qual a escala logar\u00edtmica \u00e9 constru\u00edda, deve-se ficar atento para algumas regras de uso:<\/p>\n
      \n
    1. N\u00e3o existe zero em escala logar\u00edtmica. Devido ao fato de \"\\lim_{x\\rightarrow \u00e9 imposs\u00edvel definir o valor zero na escala.<\/li>\n
    2. A escala logar\u00edtmica \u00e9 dividida em d\u00e9cadas. Cada d\u00e9cada corresponde a uma ordem de grandeza decimal. A divis\u00e3o da escala, em cada d\u00e9cada, \u00e9 id\u00eantica de uma d\u00e9cada para outra.<\/li>\n
    3. Pelo fato da posi\u00e7\u00e3o da escala ser proporcional a log(x) n\u00e3o podemos escolher qualquer escala para fazer o gr\u00e1fico. A posi\u00e7\u00e3o equivalente ao 1 na escala logar\u00edtmica da figura 8 pode ser atribu\u00edda somente a n\u00fameros do tipo 1; 0,1; 10; 1000; etc. Do mesmo modo, a posi\u00e7\u00e3o 3 s\u00f3 pode ser atribu\u00edda a n\u00fameros do tipo 3; 0,3; 30; 3000; etc.<\/li>\n
    4. Uma d\u00e9cada subsequente tem que, necessariamente, possuir escala de tal forma que os n\u00fameros s\u00e3o marcados uma ordem de grandeza acima da d\u00e9cada anterior. Por exemplo, caso a d\u00e9cada anterior varie de 0,01 \u00e0 0,1; a d\u00e9cada subsequente deve variar de 0,1 \u00e0 1 e assim sucessivamente.<\/li>\n<\/ol>\n

      Um uso interessante para a escala logar\u00edtmica diferente de fazer gr\u00e1ficos \u00e9 a forma simples de calcular logaritmos. Como a posi\u00e7\u00e3o de um valor x, na escala, \u00e9 proporcional a log(x), e como o tamanho de uma d\u00e9cada corresponde a varia\u00e7\u00e3o de 1 em logaritmos (\"\\log(10x) , qualquer que seja x) podemos usar essa informa\u00e7\u00e3o para o c\u00e1lculo de logaritmos. Para isso, basta medir a dist\u00e2ncia d (em cent\u00edmetros) da posi\u00e7\u00e3o de x na escala logar\u00edtmica e o tamanho da d\u00e9cada D, conforme mostra a figura 9. Desse modo, log(x) vale:<\/p>\n

      \"\\log(x)=\\frac{d[cm]}{D[cm]}\"<\/center><\/p>\n
      \"\"<\/div>\n

      Figura 9 – C\u00e1lculo de log(x) utilizando a escala logar\u00edtmica.<\/center>
      <\/center>Um exemplo de um gr\u00e1fico com escalas logar\u00edtmicas \u00e9 mostrado na figura 10.<\/p>\n
      \"\"<\/div>\n

      Figura 10 – Exemplo de gr\u00e1fico com escalas logar\u00edtmicas.<\/center>
      <\/center>Em um outro texto mostraremos como extrair informa\u00e7\u00f5es quantitativas de gr\u00e1ficos, tais como coeficientes angular e linear e lineariza\u00e7\u00e3o de gr\u00e1ficos.<\/p>\n

      Histogramas<\/h2>\n

      Vamos imaginar o seguinte experimento. Um cientista resolve medir o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o de um p\u00eandulo. Ap\u00f3s realizar o experimento uma \u00fanica vez ele obt\u00e9m um determinado valor T para o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o desse p\u00eandulo. Contudo, ap\u00f3s repetir o experimento v\u00e1rias vezes ele observa que cada experimento, mesmo que efetuado sob as mesmas condi\u00e7\u00f5es experimentais (aquelas controladas pelo experimentador), fornece um valor diferente para o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o. Nesse caso, o experimentador conclui que o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o do p\u00eandulo pode ser dado pela m\u00e9dia de todas as medidas efetuadas. Contudo, outras quest\u00f5es podem ser igualmente importantes: como as medidas se distribuem em torno desse valor m\u00e9dio? O valor m\u00e9dio \u00e9 tamb\u00e9m o valor mais prov\u00e1vel de ser medido? Qual a probabilidade de realizar uma medida na qual o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o obtido \u00e9 duas vezes maior que o valor m\u00e9dio?<\/p>\n

      Muitas dessas quest\u00f5es podem ser resolvidas atrav\u00e9s da an\u00e1lise estat\u00edstica das medidas efetuadas. Contudo, uma ferramenta importante para an\u00e1lise estat\u00edstica \u00e9 o histograma das medidas. Um histograma \u00e9 um gr\u00e1fico no qual o conjunto de pontos (x, y) tem um significado espec\u00edfico. Um certo valor y est\u00e1 diretamente relacionado com a probabilidade de efetuar uma determinada medida e obter, como resultado, o valor x. Voltando ao nosso exemplo do p\u00eandulo, a vari\u00e1vel graficada no eixo-x poderia ser o per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o enquanto que a vari\u00e1vel no eixo-y pode ser o n\u00famero de vezes que aquele determinado per\u00edodo foi medido pelo experimentador.<\/p>\n

      Por ter um significado espec\u00edfico, muitas vezes um histograma n\u00e3o \u00e9 graficado colocando pontos nas coordenadas (x, y) de um papel milimetrado e sim atrav\u00e9s dos desenhos de barras verticais cuja altura corresponde ao valor y obtido para o ponto x.<\/p>\n

      A figura 11 mostra um histograma t\u00edpico para o nosso experimento fict\u00edcio. Nesse caso, o experimentador realizou a mesma medida 200 vezes. Cada barra vertical no histograma corresponde a um intervalo de per\u00edodos. Por exemplo, a barra mais alta corresponde a medidas cujo per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o estava entre 0,40 e 0,43 segundos. Ap\u00f3s repetir 200 vezes o experimento, o experimentador obteve 39 medidas cujo per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o do p\u00eandulo encontrava-se nesse intervalo de tempo. Para o intervalo de tempo entre 0,50 e 0,53 segundos, o experimentador obteve somente 6 medidas nesse intervalo. Cada um desses intervalos de medidas, que corresponde a uma barra no histograma \u00e9 denominado de um canal do histograma. Em geral, histogramas possuem canais cujas larguras s\u00e3o fixas para todo o histograma. Casos especiais de histograma possuem canais de larguras variadas, por\u00e9m s\u00e3o mais dif\u00edceis de serem analisados.<\/p>\n

      \"\"<\/div>\n

      Figura 11 – Histograma do per\u00edodo de oscila\u00e7\u00e3o de um p\u00eandulo simples para um experimento realizado 200 vezes.<\/center>A amplitude a ser graficada em um histograma, para cada intervalo de varia\u00e7\u00e3o da medida, depende de como esse histograma ser\u00e1 utilizado posteriormente. \u00c9 comum, contudo, utilizar uma das seguintes op\u00e7\u00f5es:n<\/p>\n

      Histograma de n\u00famero de ocorr\u00eancias (N)<\/h3>\n

      A amplitude do histograma, N(x), \u00e9 simplesmente o n\u00famero de ocorr\u00eancias verificadas em cada canal do histograma cujo centro vale x. Apesar de ser o histograma mais simples de se construir, pois exige apenas a contagem do n\u00famero de ocorr\u00eancias, a an\u00e1lise do mesmo \u00e9 mais trabalhosa. Por exemplo, para calcular a probabilidade de efetuar uma medida em um intervalo \u00e9 necess\u00e1rio saber o n\u00famero total de medidas utilizadas no histograma.<\/p>\n

      Histograma de freq\u00fc\u00eancia de ocorr\u00eancia (F)<\/h3>\n

      A freq\u00fc\u00eancia na qual ocorre uma determinada medida \u00e9 definida como sendo a raz\u00e3o entre o n\u00famero de ocorr\u00eancias em um canal do histograma cujo centro vale x e o n\u00famero total de medidas efetuada, ou seja:<\/p>\n

      \"F(x)<\/center>A vantagem de utilizar essa vari\u00e1vel como amplitude do histograma \u00e9 \u00f3bvia. A simples leitura da amplitude do histograma em um determinado canal, no limite de um grande n\u00famero de medidas, Ntotal, tende \u00e0 probabilidade de realizar uma medida no intervalo correspondente ao canal estudado. No caso mostrado na figura 11, como o experimento foi realizado 200 vezes, a freq\u00fc\u00eancia de ocorr\u00eancia para um dado canal \u00e9 o n\u00famero de contagens daquele canal, dividido por 200.n<\/p>\n

      nApesar de os histogramas de ocorr\u00eancias (N) e freq\u00fc\u00eancias (F) serem simples de construir eles possuem algumas limita\u00e7\u00f5es. A maior delas \u00e9 o fato das amplitudes nesses histogramas serem fortemente dependentes da largura escolhida para os canais. Caso a largura escolhida seja duas vezes maior, tanto os n\u00fameros de ocorr\u00eancias como as freq\u00fc\u00eancias ser\u00e3o tamb\u00e9m duas vezes maiores. Esse aspecto torna histogramas de ocorr\u00eancias e freq\u00fc\u00eancias dif\u00edceis de serem comparados com outros histogramas, bem como com curvas te\u00f3ricas. Um terceiro tipo de histograma, definido como histograma de densidades de probabilidade, elimina essa limita\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

      Histograma de densidade de probabilidades ( H )<\/h3>\n

      A densidade de probabilidade \u00e9 definida como sendo a raz\u00e3o entre a probabilidade de realizar uma medida no intervalo x e x+dx e o tamanho do intervalo, dx, no limite no qual esse intervalo \u00e9 muito pequeno, ou seja:<\/p>\n

      \"H(x)<\/center>
      \nSe a densidade de probabilidade \u00e9 conhecida, a probabilidade de ocorrer um resultado em um intervalo (x, x+\u0394x), com \u0394x pequeno, \u00e9, aproximadamente:<\/p>\n

      \"P(x,x+\\Delta<\/center>
      \nA grande vantagem de utilizar a densidade de probabilidade para montar histogramas \u00e9 o fato das amplitudes em cada canal ser independente do n\u00famero de medidas efetuadas bem como da largura escolhida para os canais do histograma. Experimentalmente, a densidade de probabilidade pode ser obtida como sendo a frequ\u00eancia de ocorr\u00eancia de eventos em um canal, dividida pela largura do canal no histograma, ou seja:<\/p>\n

      \"H(x)=\\frac{F(x)}{\\Delta<\/center><\/p>\n

      Constru\u00e7\u00e3o de histogramas<\/h3>\n

      Depois de realizadas as medidas, o experimentador tem em m\u00e3os uma tabela na qual est\u00e3o listados os valores obtidos para a grandeza que se quer histogramar. Construir um histograma consiste nos seguintes passos:<\/p>\n

        \n
      1. Escolher a largura dos canais do histograma, \u0394x.<\/li>\n
      2. Escolher os centros de cada canal, tomando o cuidado que n\u00e3o sobrem espa\u00e7os vazios entre os canais.<\/li>\n
      3. Contar o n\u00famero de ocorr\u00eancias para cada um dos canais, N(x). Nesse ponto \u00e9 poss\u00edvel construir o histograma de n\u00famero de ocorr\u00eancias. Caso uma ocorr\u00eancia ocorra na borda entre dois canais, considere a ocorr\u00eancia como pertencendo ao canal cujo centro possua maior valor.<\/li>\n
      4. Caso queira-se construir o histograma de frequ\u00eancias, F(x) dividir o n\u00famero de ocorr\u00eancias em cada canal pelo total de medidas efetuadas.<\/li>\n
      5. Caso queira-se construir o histograma de densidade de probabilidades, H(x), dividir a frequ\u00eancia de cada canal pela largura de cada um dos canais.<\/li>\n<\/ol>\n

        Alguns problemas ocorrem na cria\u00e7\u00e3o do histograma, principalmente quando o n\u00famero total de medidas (Ntotal) \u00e9 estatisticamente pequeno.<\/p>\n

        O problema mais frequente \u00e9 a escolha da largura do canal, \u0394x. Evidentemente, para que a densidade de probabilidade experimental seja o mais pr\u00f3xima poss\u00edvel da defini\u00e7\u00e3o te\u00f3rica, deve-se escolher \u0394x de tal forma a ser o menor valor poss\u00edvel. Entretanto, diminuindo \u0394x estamos tamb\u00e9m diminuindo o n\u00famero de ocorr\u00eancias em cada canal do histograma, correndo o risco de que, em casos extremos, ocorram canais onde n\u00e3o seja registrada nenhuma ocorr\u00eancia.<\/p>\n

        A figura 12 mostra dois histogramas onde foram realizadas 20 medidas. No histograma da esquerda, a largura do canal utilizada \u00e9 cinco vezes mais larga que no histograma da direita. Note que o histograma com largura de canal menor apresenta flutua\u00e7\u00f5es elevadas de um canal para outro, al\u00e9m de haver canais onde n\u00e3o h\u00e1 ocorr\u00eancias. Isso resulta em alguns canais com elevada densidade de probabilidade enquanto outros canais apresentam densidade de probabilidade nula.<\/p>\n

        \"\"<\/div>\n

        Figura 12 – Histogramas de densidade de probabilidades para medidas do per\u00edodo de um p\u00eandulo simples. O conjunto de dados utilizado \u00e9 o mesmo em ambos os casos. O histograma da esquerda foi montado de tal forma que a largura do canal seja 5 vezes maior que no caso da direita. O total de medidas utilizadas para montar os histogramas (Ntotal<\/sub>) foi 20.<\/center>Esse fator deixa de ser um problema quando o n\u00famero de medidas \u00e9 bastante elevado, como mostrado na figura 13. Nesse caso, o experimento hipot\u00e9tico foi realizado 20 mil vezes. Note que, al\u00e9m do tamanho dos canais, n\u00e3o h\u00e1 diferen\u00e7a entre as densidades de probabilidade entre os histogramas.<\/p>\n
        \"\"<\/div>\n

        Figura 13 – Histogramas de densidade de probabilidades para medidas do per\u00edodo de um p\u00eandulo simples, conforme explicado na figura 12. Nesse caso, o total de medidas utilizadas para montar os histogramas (Ntotal<\/sub>) foi 20000.<\/center>Em muitas situa\u00e7\u00f5es experimentais \u00e9 muito dif\u00edcil realizar um n\u00famero elevado de medidas de tal forma que a escolha da largura dos canais no histograma possa ser arbitrariamente pequena. Como regra pr\u00e1tica, a largura dos canais, \u0394x, deve ser escolhida de tal forma que o n\u00famero de ocorr\u00eancias, N(x), seja pelo menos 10 para os canais pr\u00f3ximos ao valor m\u00e9dio das medidas. Outro fator importante \u00e9 a escolha das posi\u00e7\u00f5es centrais dos canais do histograma. Deve-se, nesse caso, escolher as posi\u00e7\u00f5es centrais de tal forma que uma delas seja aproximadamente igual ao valor m\u00e9dio das medidas.<\/p>\n

        Interpreta\u00e7\u00e3o de um Histograma<\/h3>\n

        Quando medimos N vezes uma grandeza, normalmente obtemos valores diferentes para cada medida devido \u00e0 incerteza estat\u00edstica ou aleat\u00f3ria associada ao procedimento de medida. Se a incerteza \u00e9 aleat\u00f3ria, \u00e9 razo\u00e1vel supor que ela pode fazer com que o resultado da medida seja igualmente maior, ou menor, que o valor verdadeiro da grandeza. Portanto, esperamos que um histograma tenha uma forma sim\u00e9trica em torno do valor que representa a melhor estimativa para o valor verdadeiro da medida, como podemos observar no histograma da figura 14.<\/p>\n

        \"\"<\/div>\n

        Figura 14 – Obten\u00e7\u00e3o de m\u00e9dia e desvio padr\u00e3o a partir da an\u00e1lise gr\u00e1fica do histograma.<\/center>
        <\/center>A largura do histograma deve refletir a precis\u00e3o da medida, pois ela mostra o quanto as medidas variaram em torno da estimativa do valor verdadeiro. Um histograma mais largo significa uma medida menos precisa e vice-versa. Como discutido no cap\u00edtulo 5 da apostila \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 Teoria de Erros\u201d de J. H. Vuolo, a melhor estimativa do valor verdadeiro de uma medida \u00e9 dada pela m\u00e9dia e a varia\u00e7\u00e3o (ou vari\u00e2ncia) das medidas \u00e9 dada pelo desvio padr\u00e3o. Portanto, podemos estimar o valor da m\u00e9dia e do desvio padr\u00e3o de um conjunto de medidas a partir do seu histograma, somente observando o valor central do mesmo e a largura do histograma a, aproximadamente, 2\/3 de sua altura m\u00e1xima, conforme mostra a figura 14. Uma discuss\u00e3o mais formal sobre essa interpreta\u00e7\u00e3o do significado do valor central e da largura de um histograma pode ser encontrada no cap\u00edtulo 7 da apostila \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 Teoria de Erros\u201d.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Este texto foi baseado nas apostilas \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 interpreta\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de dados, gr\u00e1ficos e equa\u00e7\u00f5es\u201d, 1990, dos Profs. Fuad Saad, Paulo Yamamura e Kazuo Watanabe; \u201cF\u00edsica Geral e Experimental para Engenharia I\u201d, 2003, dos Profs. Ewout ter Haar e Valdir Bindilati. Este texto \u00e9, tamb\u00e9m, a vers\u00e3o digital do cap\u00edtulo da apostila de Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[10],"tags":[],"class_list":["post-462","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-notas_fisexp"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"suaide","author_link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/author\/suaide\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Este texto foi baseado nas apostilas \u201cIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 interpreta\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de dados, gr\u00e1ficos e equa\u00e7\u00f5es\u201d, 1990, dos Profs. Fuad Saad, Paulo Yamamura e Kazuo Watanabe; \u201cF\u00edsica Geral e Experimental para Engenharia I\u201d, 2003, dos Profs. Ewout ter Haar e Valdir Bindilati. Este texto \u00e9, tamb\u00e9m, a vers\u00e3o digital do cap\u00edtulo da apostila de Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/462","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=462"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/462\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":515,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/462\/revisions\/515"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=462"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=462"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=462"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}