{"id":483,"date":"2013-07-11T18:01:00","date_gmt":"2013-07-11T21:01:00","guid":{"rendered":"http:\/\/265@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-06-14T09:39:03","modified_gmt":"2025-06-14T12:39:03","slug":"momento-angular","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2013\/07\/11\/momento-angular\/","title":{"rendered":"Momento angular"},"content":{"rendered":"

nnVers\u00e3o para impress\u00e3o<\/a>n\n\nnn Notas de aula s\u00e3o propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, ap\u00f3s autoriza\u00e7\u00e3o de seu autor.n\n\nnn O texto a seguir corresponde \u00e0 anota\u00e7\u00f5es parciais de aula. N\u00e3o \u00e9 um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto n\u00e3o tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. <\/span> <\/em><\/strong>n<\/center>
n
nNormalmente n\u00f3s somos introduzidos ao momento angular em mec\u00e2nica qu\u00e2ntica a partir da rela\u00e7\u00e3o \\vec{L} = \\vec{r}\\times\\vec{p} e depois introduzimos o conceito de spin como uma forma de momento angular. Do ponto de vista macrosc\u00f3pico, interpretamos spin como sendo um momento angular intr\u00ednseco do objeto como a soma de todos os pequenos momentos angulares \\vec{r}_i\\times\\vec{p}_i das part\u00edculas que constituem este corpo em torno de um eixo de rota\u00e7\u00e3o. At\u00e9 a\u00ed tudo bem, podemos viver com esta simplifica\u00e7\u00e3o. O problema surge quando tentamos adaptar esta defini\u00e7\u00e3o a part\u00edculas elementares e torna-se comum surgirem interpreta\u00e7\u00f5es de que o spin do el\u00e9tron, por exemplo, seria uma rota\u00e7\u00e3o desta part\u00edcula em torno do seu eixo. Isto n\u00e3o \u00e9 apropriado. N\u00e3o tem sentido falar em dimens\u00f5es do el\u00e9tron e, portanto, n\u00e3o tem sentido falar em movimento de rota\u00e7\u00e3o em torno do seu eixo. Neste sentido, n\u00e3o vamos partir da defini\u00e7\u00e3o \\vec{L} = \\vec{r}\\times\\vec{p} e, conhecendo os operadores momento e posi\u00e7\u00e3o deduzir os operadores de momento angular e suas regras de comuta\u00e7\u00e3o. Vamos partir da no\u00e7\u00e3o de uma transforma\u00e7\u00e3o de simetria por rota\u00e7\u00e3o de um sistema de coordenadas qualquer (que, por acaso, podem ser, no caso particular, espaciais) e deduzir propriedades dos operadores de rota\u00e7\u00e3o.n
n
nVamos agora explorar um pouco rota\u00e7\u00e3o em um sistema de 3 coordenadas. A rota\u00e7\u00e3o em torno de dada um desses eixos (1, 2 ou 3) de um \u00e2ngulo \\phi pode ser estrita atrav\u00e9s de tr\u00eas matrizes, uma para cada eixo, de modo que \\vec{\\psi}\\rightarrow\\vec{\\psi}, sendo R_i matrizes dadas por:n
n
n

nR_1(\\phi)=\\begin{pmatrix}rn1 & 0 & 0 \\\\ rn0 & \\cos\\phi & -\\sin\\phi\\\\ rn0 & \\sin\\phi & \\cos\\phirn\\end{pmatrix}\u00a0\u00a0nR_2(\\phi) = \\begin{pmatrix}rn\\cos\\phi & 0 & \\sin\\phi \\\\ rn0 & 1 & 0\\\\ rn-\\sin\\phi & 0 & \\cos\\phirn\\end{pmatrix} \u00a0\u00a0nR_3(\\phi)=\\begin{pmatrix}rn\\cos\\phi & -\\sin\\phi & 0 \\\\ rn\\sin\\phi & \\cos\\phi & 0\\\\ rn0 & 0 & 1rn\\end{pmatrix} \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(1)n<\/center>
n
nVamos analisar este problema sob o ponto de vista de rota\u00e7\u00f5es infinitesimais (n\u00f3s j\u00e1 vimos que uma transforma\u00e7\u00e3o cont\u00ednua de simetria pode ser representada por uma s\u00e9rie de transforma\u00e7\u00f5es infinitesimais). Isso facilita bastante a interpreta\u00e7\u00e3o pois nos livramos de fun\u00e7\u00f5es trigonom\u00e9tricas. Expandindo os senos e cossenos em s\u00e9ries de Taylor e, desprezando todos os termos de ordem maior que a de pot\u00eancia 2, fazendo \\phi\\rightarrow\\epsilon, as matrizes em (1) tornam-se:n
n
n
nR_1(\\epsilon)=\\begin{pmatrix}rn1 & 0 & 0\\\\ rn0 & 1-\\frac{\\epsilon^2}{2} & -\\epsilon \\\\ rn0 & \\epsilon & 1-\\frac{\\epsilon^2}{2}rn\\end{pmatrix} \u00a0 \u00a0nR_2(\\epsilon)=\\begin{pmatrix}rn1-\\frac{\\epsilon^2}{2} & 0 & \\epsilon\\\\ rn0 & 1 & 0 \\\\ rn-\\epsilon & 0 & 1-\\frac{\\epsilon^2}{2}rn\\end{pmatrix} \u00a0 \u00a0nR_3(\\epsilon)=\\begin{pmatrix}rn1-\\frac{\\epsilon^2}{2} & -\\epsilon & 0\\\\ rn\\epsilon & 1-\\frac{\\epsilon^2}{2} & 0 \\\\ rn0 & 0 & 1rn\\end{pmatrix}\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(2)n<\/center>
n
nVamos agora tomar um sistema qualquer e fazer uma rota\u00e7\u00e3o infinitesimal em torno do eixo-1 e, em seguida, em torno do eixo-2. Isso equivale a fazer uma rota\u00e7\u00e3o por uma matriz tal que R_{21} = R_2 \\times R_1. Podemos fazer o mesmo com sequ\u00eancia invertida, isto \u00e9, primeiro uma rota\u00e7\u00e3o em torno do eixo-2 e, em seguida, em torno do eixo-1. Isto equivale a fazer uma rota\u00e7\u00e3o do tipo R_{12} = R_2 \\times R_1. Estas rota\u00e7\u00f5es s\u00e3o id\u00eanticas? Isto pode ser verificado atrav\u00e9s da opera\u00e7\u00e3o R_{12}-R_{21}. Caso estas rota\u00e7\u00f5es sejam id\u00eanticas, esta opera\u00e7\u00e3o resulta em zero. Fazendo esta conta, desprezando todos os termos de ordem maior que a quadr\u00e1tica, temos:n
n
n
nR_1(\\epsilon) R_2(\\epsilon) - R_2(\\epsilon) R_1(\\epsilon) =\\begin{pmatrix}rn0 & -\\epsilon^2 & 0\\\\ rn\\epsilon^2 & 0 & 0\\\\ rn0 & 0 & 0rn\\end{pmatrix}=R_3(\\epsilon^2)-1=R_3(\\epsilon^2)-R_i(0)\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(3)n<\/center>
n
nisto \u00e9, as matrizes de rota\u00e7\u00e3o n\u00e3o comutam entre si, o que significa que grupos de rota\u00e7\u00e3o s\u00e3o n\u00e3o-abelianos. Este \u00e9 um resultado bastante conhecido em mec\u00e2nica classica, onde o efeito de subtrair rota\u00e7\u00f5es em dois eixos invertidas corresponde a uma rota\u00e7\u00e3o no terceiro eixo do sistema.
n
nAgora vamos dar o salto qu\u00e2ntico: Vamos definir tr\u00eas operadores \\hat{J}_x,\\hat{J}_y,\\hat{J}_z, respons\u00e1veis por rota\u00e7\u00f5es em tr\u00eas eixos (aqui mudei o \u00edndice de 1,2,3 para x,y,z porque \u00e9 a nota\u00e7\u00e3o mais comum em livros did\u00e1ticos). O operador de rota\u00e7\u00e3o infinitesimal para cada um destes geradores pode ser escrito, como vimos:n
n
n
\\hat{R}_i(\\epsilon) = 1-i\\hat{J}_i\\epsilon\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(4)n<\/center>
n
nVamos encontrar rela\u00e7\u00f5es de comuta\u00e7\u00e3o para os operadores \\hat{J}_i que respeitem as regras de rota\u00e7\u00f5es em torno desses tr\u00eas eixos, ou seja, \\hat{R}_x(\\epsilon)\\hat{R}_y(\\epsilon) - \\hat{R}_y(\\epsilon)\\hat{R}_x(\\epsilon)=\\hat{R}_z(\\epsilon^2)-1. Substituindo (4) nesta express\u00e3o temos:n
n
n
n(1-i\\hat{J}_x\\epsilon)(1-i\\hat{J}_y\\epsilon)-(1-i\\hat{J}_y\\epsilon)(1-i\\hat{J}_x\\epsilon) = (1 -i\\hat{J}_z\\epsilon^2)-1
n
n(1-i\\hat{J}_x\\epsilon-i\\hat{J}_y\\epsilon -\\hat{J}_x\\hat{J}_y\\epsilon^2) - (1-i\\hat{J}_y\\epsilon - i\\hat{J}_x\\epsilon - \\hat{J}_y\\hat{J}_x\\epsilon^2) = -i\\hat{J}_z\\epsilon^2
n
n\\hat{J}_y\\hat{J}_x\\epsilon^2-\\hat{J}_x\\hat{J}_y\\epsilon^2 = -i\\hat{J}_z\\epsilon^2
n
n\\hat{J}_y\\hat{J}_x-\\hat{J}_x\\hat{J}_y = -i\\hat{J}_z
n
n[\\hat{J}_x,\\hat{J}_y] = i\\hat{J}_z\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(5)n<\/center>
n
nA express\u00e3o em (5) estabelece a rela\u00e7\u00e3o de comuta\u00e7\u00e3o entre os operadores de modo que a transforma\u00e7\u00e3o de simetria proposta tenha as propriedades de uma rota\u00e7\u00e3o em torno de um eixo definido. Pode-se demonstrar estas rela\u00e7\u00f5es para as outras rota\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, de modo a escrever a rela\u00e7\u00e3o geral de comutadores entre os operadores geradores de rota\u00e7\u00e3o, na forma:n
n
n
[\\hat{J}_i,\\hat{J}_j]=i\\varepsilon_{ijk}\\hat{J}_k\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(6)n<\/center>
n
nQue s\u00e3o as rela\u00e7\u00f5es de comuta\u00e7\u00e3o conhecidas para os operadores de momento angular. Note que as rela\u00e7\u00f5es em (6) podem ser deduzidas facilmente atrav\u00e9s da defini\u00e7\u00e3o de momento angular em termos dos operadores de momento linear e posi\u00e7\u00e3o. Contudo, a dedu\u00e7\u00e3o que fizemos n\u00e3o necessita da representa\u00e7\u00e3o de que estes operadores de momento angular est\u00e3o relacionados a movimentos de rota\u00e7\u00e3o em torno de um eixo. Na nossa defini\u00e7\u00e3o, os operadores de momento angular nada mais s\u00e3o do que geradores de transforma\u00e7\u00f5es de rota\u00e7\u00e3o do sistema em torno de um eixo fixo. E, com base nas rela\u00e7\u00f5es em (6) vamos ser capazer de explorar diversas caracter\u00edsticas desses operadores.n
n
nA primeira caracter\u00edstica \u00e9 o fato de estes operadores n\u00e3o comutarem entre si. Isto torna imposs\u00edvel encontrar uma base composta por auto-estados simulat\u00e2neos destes tr\u00eas operadores. Vamos considerar, agora, um novo operador, \\hat{J}^2 = \\hat{J}_x\\hat{J}_x + \\hat{J}_y\\hat{J}_y + \\hat{J}_z\\hat{J}_z, em analogia ao m\u00f3dulo de um vetor composto pelas tr\u00eas componentes deste operador momento angular. \u00c9 f\u00e1cil mostrar que este operador comuta com qualquer uma das suas componentes:n
n
n
n[\\hat{J}^2,\\hat{J}_z] = [\\hat{J}_x\\hat{J}_x + \\hat{J}_y\\hat{J}_y + \\hat{J}_z\\hat{J}_z,\\hat{J}_z] = [\\hat{J}_x\\hat{J}_x + \\hat{J}_y\\hat{J}_y ,\\hat{J}_z]
n
n[\\hat{J}^2,\\hat{J}_z] = [\\hat{J}_x\\hat{J}_x ,\\hat{J}_z] + [\\hat{J}_y\\hat{J}_y ,\\hat{J}_z]
n
n[\\hat{J}^2,\\hat{J}_z] =\\hat{J}_x[\\hat{J}_x ,\\hat{J}_z] + [\\hat{J}_x ,\\hat{J}_z]\\hat{J}_x + \\hat{J}_y[\\hat{J}_y ,\\hat{J}_z] + [\\hat{J}_y ,\\hat{J}_z]\\hat{J}_y
n
n[\\hat{J}^2,\\hat{J}_z] =\\hat{J}_x(-i\\hat{J}_y) + (-i\\hat{J}_y)\\hat{J}_x + \\hat{J}_y(i\\hat{J}_x) + (i\\hat{J}_x)\\hat{J}_y
n
n[\\hat{J}^2,\\hat{J}_z] = 0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(7)n<\/center>n
n
nO mesmo pode ser mostrado para as outras componentes. Isto significa que podemos construir uma base ortogonal composta por auto-estados simulat\u00e2neos de \\hat{J}^2 e uma de suas componentes. Por conven\u00e7\u00e3o, \u00e9 comum escolher esta componente como sendo \\hat{J}_z. Estes estados s\u00e3o representados pelo vetor |j,m\\rangle, onde:n
n
n
\\hat{J}^2|j,m\\rangle = j(j+1)|j,m\\rangle \\text{ e } \\hat{J}_z|j,m\\rangle = m|j,m\\rangle\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(8)n<\/center>n
n
ncom j=0,1\/2,1,3\/2,2,5\/2,3,... um n\u00famero inteiro ou semi-inteiro e -j \\le m \\le +j, variando de uma unidade entre esses limites. N\u00f3s n\u00e3o vamos demonstrar isto aqui. Uma boa demonstra\u00e7\u00e3o pode ser obtida na se\u00e7\u00e3o 3.5 do livro “Modern Quantum Mechanics”, J. J. Sakurai. Em linhas gerais a obten\u00e7\u00e3o desses autoestados parte da cria\u00e7\u00e3o de operadores escada \\hat{J}_{\\pm} = \\hat{J}_x \\pm i\\hat{J}_y, que satisfazem (tamb\u00e9m demonstrado neste cap\u00edtulo do Sakurai):
n
n
n
n\\hat{J}_{\\pm}|j,m\\rangle = \\sqrt{(j\\mp m)(j \\pm m +1)}|j,m\\pm 1\\rangle\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(9)n<\/center>n
nEstes operadores escadas s\u00e3o extremamente \u00fateis para encontrar a forma matricial de operadores de momento angular, j\u00e1 que:n
n
n
n\\langle j\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(10)n<\/center>n
n
nnEm muitas situa\u00e7\u00f5es torna-se necess\u00e1rio realizar adi\u00e7\u00f5es de momento angular. Por exemplo, em um sistema de duas part\u00edculas, cada uma de estados de momento angular j_a e j_b, resulta em um sistema cujo momento angular total |j_a-j_b|<j<j_a+j_b. Em muitos casos a descri\u00e7\u00e3o do sistema na base |j_a,m_a,j_b,m_b\\rangle e sim na base |j,m,j_a,j_b\\rangle. Neste caso, um estado em uma base pode ser obtido a partir dos estados em outra base atrav\u00e9s de:n
n
n
n|j,m,j_a,j_b\\rangle = \\sum_{m_a,m_b}{C_{j_a,m_a,j_b,m_b}^{j,m} |j_a,m_a,j_b,m_b\\rangle}n
n
n<\/center>nonde C_{j_a,m_a,j_b,m_b}^{j,m} s\u00e3o denominados coeficientes de Clebsh-Gordan e podem ser obtidos de tabelas<\/a> ou calculados manualmente. Uma propriedade importante destes coeficientes \u00e9 que eles se anulam se m\\ne m_a+m_b, o que reduz consideravelmente o n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis.nnn\n\n

Sistemas de dois n\u00edveis: spin, isospin, … = 1\/2<\/h2>\n\nnTalvez o mais importante estado de momento angular \u00e9 aquele com j=1\/2. O pr\u00f3ton, neutron, todos os quarks, l\u00e9ptons, possui esta propriedade intr\u00ednseca, que chamamos de spin. Quando fomos discutir equa\u00e7\u00e3o de Dirac, o spin surgir\u00e1 naturalmente como propriedade dessas part\u00edculas. Por enquanto vamos apenas discutir um pouco algumas propriedades destes sistemas. Inicialmente vamos construir os operadores para j=1\/2, que, para adotar uma conven\u00e7\u00e3o mais familiar, chamaremos de \\hat{S}_i. Utilizando uma base composta de auto-estados de \\hat{S}^2 e \\hat{S}_z, que tem apenas dois vetores, na forma:n
n
n
n|s,m_s\\rangle=|\\tfrac{1}{2}\\tfrac{1}{2}\\rangle=\\binom{1}{0}\\text{ e }|\\tfrac{1}{2}{-\\tfrac{1}{2}}\\rangle=\\binom{0}{1}\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(11)n<\/center>n
n
nUtilizando as rela\u00e7\u00f5es em (8) \u00e9 f\u00e1cil escrever que:n
n
n
n\\hat{S}^2=\\tfrac{3}{4}\\begin{pmatrix}rn1 & 0\\\\ rn0 & 1rn\\end{pmatrix}\\text{ e }rn\\hat{S}_z=\\tfrac{1}{2}\\begin{pmatrix}rn1 & 0\\\\ rn0 & -1rn\\end{pmatrix}\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(12)n<\/center>n
n
nOs operadores \\hat{S}_x e \\hat{S}_y podem ser obtidos atrav\u00e9s dos operadores \\hat{S}_+ e \\hat{S}_-. Utilizando (10), o operador S_+ tem todos os elementos nulos, exceto o elemento (\\hat{S}_+)_{m. No caso do \\hat{S}_-, todos elementos s\u00e3o nulos exceto (\\hat{S}_+)_{m. Da defini\u00e7\u00e3o destes operadoes escada, podemos escrever que \\hat{S}_x = \\tfrac{1}{2}(\\hat{S}_+ + \\hat{S}_-) e \\hat{S}_y = \\tfrac{1}{2i}(\\hat{S}_+ - \\hat{S}_-), escrevemos:n
n
n
n\\hat{S}_x=\\tfrac{1}{2}\\begin{pmatrix}rn0 & 1\\\\ rn1 & 0rn\\end{pmatrix}\\text{ e } rn\\hat{S}_y=\\tfrac{1}{2}\\begin{pmatrix}rn0 & -i\\\\ rni & 0rn\\end{pmatrix}\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(13)n<\/center>n
n
nEm geral, costuma-se utilizar a nota\u00e7\u00e3o \\hat{S}_i = \\tfrac{1}{2}\\hat\\sigma_i onde \\hat\\sigma_i s\u00e3o denominadas de matrizes de Pauli cujas matrizes u_i = i \\sigma_i constituem os elementos do grupo SU(2). As matrizes do grupo SU(2) s\u00e3o tais que:n
n
n
SU(2)=\\begin{pmatrix}rn\\alpha & -\\bar{\\beta} \\\\ rn\\beta & \\bar{\\alpha} rn\\end{pmatrix}\\text{ com } |\\alpha|^2+|\\beta|^2=1 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(14)n<\/center>n
n
nO estado mais geral de uma part\u00edcula de spin 1\/2 pode ser escrito como sendo:
n
n
n\\begin{pmatrix}rn\\alpha\\\\ rn\\betarn\\end{pmatrix}=\\alpha\\begin{pmatrix}rn1\\\\ rn0rn\\end{pmatrix}+\\beta\\begin{pmatrix}rn0\\\\ rn1rn\\end{pmatrix}\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0(15)n<\/center>n
n
nOu seja, |\\alpha|^2 fornece a probabilidade de a part\u00edcula ser encontrada com spin com proje\u00e7\u00e3o em z +1\/2. O mesmo vale para |\\beta|^2. Note que, neste caso, |\\alpha|^2+|\\beta|^2=1 para manter o estano normalizado. \u00c9 comum chamar estes sistemas de dois n\u00edveis de espinores (spinnors<\/i>), ou objetos de duas componentes, algo intermedi\u00e1rio entre objetos escalares (uma componentes) e vetoriais (tr\u00eas componentes). nn\n\n

Leitura recomendada<\/h2>\n\nn\n\n
    n\n\n
  1. Cap\u00edtulo 3 do livro “Modern Quantum Mechanics”, J. J. Sakurai.n\n\n
  2. Cap\u00edtulo 4 do livro “Introduction to Elementary Particles”, David Griffths.n<\/ol>\n\nn
    n\n\n

    Exerc\u00edcios<\/h2>\n\nn\n\n
      n\n\n
    1. Obtenha os operadores \\hat J^2, \\hat J_1, \\hat J_2 e \\hat J_3, na forma matricial, para J=2.n\n\n
    2. Mostre que o operador \\hat J_3 \u00e9 respons\u00e1vel por uma rota\u00e7\u00e3o em torno deste eixo por um \u00e2ngulo \\phi qualquer. Dica: Uma rota\u00e7\u00e3o qualquer de um \u00e2ngulo \\phi em torno de um eixo i \u00e9 dada por e^{i\\hat J_i \\phi}. Calcule o valor esperado para \\hat J_1 e \\hat J_2 ap\u00f3s esta rota\u00e7\u00e3o. Dica 2: Utilize para isso o teorema de Baker-Hausdorff.n\n\n
    3. Um estado composto de quarks+antiquarks u e d, cada um com isospin 1\/2, pode formar dois sistemas de isospin total, 0 e 1. Um destes estados \u00e9 singleto, o de isospin 0 e o outro, de isospin 1, tripleto. Tomando a nota\u00e7\u00e3o de que |+\\rangle corresponde a um quark com I_3 = 1\/2 e |-\\rangle corresponde a um quark com I_3 = -1\/2, podemos escrever quatro estados compostos por duas part\u00edculas de isospin 1\/2, que s\u00e3o:
      n
      n|\\psi_1\\rangle = |++\\rangle
      n
      n|\\psi_2\\rangle = |--\\rangle
      n
      n|\\psi_3\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} (|+-\\rangle + |-+\\rangle)
      n
      n|\\psi_4\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} (|+-\\rangle - |-+\\rangle)
      n
      nUtilizando argumentos de simetria de rota\u00e7\u00e3o, mostre que 3 destes estados est\u00e3o relacionados por rota\u00e7\u00f5es de isospin em torno do eixo 2, que correspondem ao estado de isospin total 1 e que um destes estados \u00e9 invariante por qualquer tipo de rota\u00e7\u00e3o, correspondente ao estado de isospin total 0. Identifique, olhando no Particle Data Group, quais m\u00e9sons correspondem a cada um destes estados.n\n\n
        ]]><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        nnVers\u00e3o para impress\u00e3on nn Notas de aula s\u00e3o propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, ap\u00f3s autoriza\u00e7\u00e3o de seu autor.n nn O texto a seguir corresponde \u00e0 anota\u00e7\u00f5es parciais de aula. N\u00e3o \u00e9 um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-483","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-notas_particulas"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false},"uagb_author_info":{"display_name":"suaide","author_link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/author\/suaide\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"nnVers\u00e3o para impress\u00e3on nn Notas de aula s\u00e3o propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, ap\u00f3s autoriza\u00e7\u00e3o de seu autor.n nn O texto a seguir corresponde \u00e0 anota\u00e7\u00f5es parciais de aula. N\u00e3o \u00e9 um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/483","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=483"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/483\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":500,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/483\/revisions\/500"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=483"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=483"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=483"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}