{"id":489,"date":"2013-06-21T11:23:00","date_gmt":"2013-06-21T14:23:00","guid":{"rendered":"http:\/\/258@sampa.if.usp.br\/~suaide\/blog\/"},"modified":"2025-06-14T09:38:54","modified_gmt":"2025-06-14T12:38:54","slug":"sistema-de-unidades","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/picard.if.usp.br\/wordpress\/index.php\/2013\/06\/21\/sistema-de-unidades\/","title":{"rendered":"Sistema de unidades"},"content":{"rendered":"

nnVers\u00e3o para impress\u00e3o<\/a>n\n\nnn Notas de aula s\u00e3o propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, ap\u00f3s autoriza\u00e7\u00e3o de seu autor.n\n\nnn O texto a seguir corresponde \u00e0 anota\u00e7\u00f5es parciais de aula. N\u00e3o \u00e9 um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto n\u00e3o tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina. <\/span> <\/em><\/strong>n<\/center>
n
nA f\u00edsica lida com grandezas de diferentes tipos e escalas de valores. Para representar numericamente estas grandezas \u00e9 necess\u00e1rio definir sistemas de unidades, sendo o mais comum o MKSA (Metro-Kilograma-Segundo-Ampere). Este sistema \u00e9 constru\u00eddo de forma a representar bem os valores t\u00edpicos de grandezas na escala humana, onde o valor unit\u00e1rio de cada uma dessas grandezas \u00e9 bem familiar (\u00e9 f\u00e1cil entender 1 kg ou 1 m). Acontece que a defini\u00e7\u00e3o de algumas dessas escalas surgiu da compara\u00e7\u00e3o com padr\u00f5es pr\u00e9-estabelecidos (1 kg equivale \u00e0 massa de 1 bloco de platina padr\u00e3o no bureau de pesos e medidas). Isso gera inconvenientes, pois a unidade depende de fatores hist\u00f3ricos e tamb\u00e9m de compara\u00e7\u00f5es com refer\u00eancias que podem estar sujeitas a flutua\u00e7\u00f5es e limita\u00e7\u00e3o em precis\u00e3o. Al\u00e9m disso, grandezas em escalas muito diferentes do valor unit\u00e1rio da unidade tornam-se desconfort\u00e1veis de lidar, por exigirem pot\u00eancias de 10 ou muito grandes ou muito pequenas. Por exemplo, a massa do el\u00e9tron no MKSA vale aproximadamente 9.1 x 10-31<\/sup> kg (note a pot\u00eancia de 10 elevado a -31). Assim, em fen\u00f4menos f\u00edsicos onde a escala \u00e9 muito diferente da unidade do sistema de medida as equa\u00e7\u00f5es carregam enormes fatores de convers\u00e3o. Por exemplo, no MKSA, a constante de Planck vale h = 6.62… x 10-34<\/sup> Js e todas as equa\u00e7\u00f5es da Mec\u00e2nica Qu\u00e2ntica carregam esta constante de convers\u00e3o de escala de alguma forma.
n
nPara resolver muitas das limita\u00e7\u00f5es decorrentes do uso de sistemas de unidades constru\u00eddos a partir de eventos hist\u00f3ricos e grandezas compat\u00edveis com as escalas humanas, criou-se o sistema natural de unidades. Na verdade h\u00e1 v\u00e1rios desses sistemas, com pequenas varia\u00e7\u00f5es dependendo do problema f\u00edsico a ser abordado. O sistema natural de unidades tem por objetivo estabelecer como grandezas unit\u00e1rias aquelas que tenham car\u00e1ter f\u00edsico universal, independentes da nossa viv\u00eancia hist\u00f3rica. O metro, no MKSA, grandeza unit\u00e1ria para o comprimento, n\u00e3o tem este car\u00e1ter. Al\u00e9m disso, pretende-se com o sistema natural de unidades estabelecer que estas grandezas n\u00e3o dependam de compara\u00e7\u00e3o com padr\u00f5es pr\u00e9-estabelecidos ou seja, estejam sujeitas a limita\u00e7\u00f5es nas suas precis\u00f5es por conta de processos comparativos. Apesar desta vantagem, em geral n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel realizar medidas em laborat\u00f3rio em unidades naturais, o que torna necess\u00e1rio realizar convers\u00f5es que, via de regra, dependem do conhecimento experimental de uma grandeza fundamental (como a constante de Planck, por exemplo). Ou seja, a escolha de sistema natural de unidade n\u00e3o pressup\u00f5e a possibilidade de realizar medidas com precis\u00e3o infinita. Outra caracter\u00edstica importante do sistema natural de unidades \u00e9 fazer com que equa\u00e7\u00f5es para fen\u00f4menos f\u00edsicos fundamentais sejam extremamente simplificadas, sem precisar de constantes de convers\u00e3o de escalas exageradas. Propositadamente, sistemas naturais introduzem uma grande ambiguidade de unidades fazendo com que grandezas diferentes tenham, na pr\u00e1tica, a mesma dimens\u00e3o. Neste caso, \u00e9 importante saber realizar an\u00e1lises dimensionais para poder converter, ao final de um problema, estas unidades para algo que seja simples de ser interpretado.
n
nComo dito, h\u00e1 v\u00e1rias varia\u00e7\u00f5es de sistemas naturais de unidades. Elas se baseiam na escolha de constantes universais unit\u00e1rias. Podemos citar, por exemplo:
n
nn\n\n

    n\n\n
  1. Unidades de Planck: \\hbar=c=G=k_B=1n\n\n
  2. Unidades naturais de part\u00edculas: \\hbar=c=\\epsilon_0=k_B=1n\n\n
  3. Unidades de Stoney: c=G=k_B=e=1n\n\n
  4. Unidades at\u00f4micas: e=m_e=\\hbar=k_B=1n<\/ol>\n\nn
    nne por ai vai…
    n
    nUm detalhe importante em sistemas de unidades \u00e9 o fato de que, constantes adimensionais n\u00e3o podem mudar de valor de um sistema para outro. Isso define fatores de escala e de convers\u00e3o para as demais grandezas n\u00e3o unit\u00e1rias do sistema. Al\u00e9m disso, \u00e9 imposs\u00edvel criar sistemas de unidades onde dois observ\u00e1veis diferentes, mas de mesma grandeza, tenham o mesmo valor. Por exemplo, \u00e9 imposs\u00edvel criar um sistema de unidades onde a massa do pr\u00f3ton e a massa do el\u00e9tron sejam simultaneamente unit\u00e1rias. Isto n\u00e3o tem sentido, uma vez que o pr\u00f3ton possui massa muito maior que a do el\u00e9tron.
    n
    nEm f\u00edsica de part\u00edculas elementares \u00e9 comum utilizar o sistema de unidades no qual \\hbar=c=\\epsilon_0=k_B=1. J\u00e1 vi em livros pequenas varia\u00e7\u00f5es deste sistema onde toma-se que 4\\pi\\epsilon_0=1, ao inv\u00e9s de \\epsilon_0=1. Vamos analisar como v\u00e1rias grandezas f\u00edsicas s\u00e3o expressas neste sistema de unidades.n
    n
    nVamos olhar inicialmente a rela\u00e7\u00e3o relativ\u00edstica entre massa, energia e momento. Para uma part\u00edcula relativ\u00edstica (vamos rever relatividade mais tarde), temos que:
    n
    n
    E^2=m^2c^4+p^2c^2<\/center>
    n
    nTomando c=1 a rela\u00e7\u00e3o acima fica muito mais simples, na forma:
    n
    n
    E^2=m^2+p^2<\/center>
    n
    nO que nos leva a concluir que [E]=[m]=[p], ou seja, energia, massa e momento t\u00eam a mesma unidade. Na f\u00edsica subat\u00f4mica \u00e9 comum utilizar como unidade para energia o el\u00e9tron-volt [eV] e seus m\u00faltiplos, sendo bastante comuns o MeV e o GeV. Vamos olhar as rela\u00e7\u00f5es de incerteza para estabelecer unidades para tempo e comprimento. Do princ\u00edpio da incerteza para energia-tempo, temos que:n
    n
    n
    \\Delta E \\Delta t \\ge \\hbar<\/center>n
    n
    nTomando \\hbar=1, resulta, naturalmente que a unidade para o tempo \u00e9 data pelo inverso da unidade de energia, ou seja, [T]=[E]^{-1}. Se adotarmos para energia a escala de MeV, por exemplo, valores para o tempo seriam expressos em MeV-1<\/sup>. \u00c9 estranho falar em tempo com esta unidade mas \u00e9 extremamente conveniente. Em breve isso ficar\u00e1 claro. Da mesma forma, podemos tomar a rela\u00e7\u00e3o e incerteza para momento-posi\u00e7\u00e3o, j\u00e1 tomando \\hbar=1:n
    n
    n
    \\Delta p \\Delta x \\ge 1<\/center>n
    n
    nO que resulta que [L]=[p]^{-1}. Como momento tem a mesma unidade de energia, posi\u00e7\u00e3o tem a mesma unidade de tempo. No nosso exemplo, se momento for dado em MeV, posi\u00e7\u00e3o ser\u00e1 dada em MeV-1<\/sup>. Note que sendo o tempo e posi\u00e7\u00e3o expressos na mesma unidade, a descri\u00e7\u00e3o relativ\u00edstica da cinem\u00e1tica ficar\u00e1 extremamente mais simples, pois essas duas grandezas ser\u00e3o tratadas na mesma escala, sem a necessidade de fatores de convers\u00e3o entre elas.
    n
    nNeste sistema de unidades, como a velocidade da luz \u00e9 unit\u00e1ria e adimensional, qualquer velocidade tamb\u00e9m torna-se adimensional e 0 \\le v \\le 1. Da mesma forma, como \\hbar tamb\u00e9m \u00e9 unit\u00e1rio e adimensional, grandezas expressas nesta constante tamb\u00e9m s\u00e3o adimensionais, como o momento angular.
    n
    nVamos agora olhar um pouco as constantes el\u00e9tricas, j\u00e1 que comprimento, tempo e massa est\u00e3o bem estabelecidas. Vamos tomar a defini\u00e7\u00e3o da velocidade da luz no v\u00e1cuo:n
    n
    n
    c=\\frac{1}{\\sqrt{\\epsilon_0 \\mu_0}}<\/center>n
    n
    nSabendo que, no nosso sistema de unidades, c=\\epsilon_0=1, consequentemente, \\mu_0=1, tamb\u00e9m sem dimens\u00f5es. Tomando tamb\u00e9m a constante de estrutura fina:n
    n
    n
    \\alpha=\\frac{e^2}{(4\\pi\\epsilon_0)\\hbar c}\\sim\\frac{1}{137}<\/center>n
    n
    nSendo \\alpha sem dimens\u00e3o, o seu valor deve ser o mesmo independente do sistema de unidades. Isso faz com que, no nosso caso, o valor para a carga do el\u00e9tron seja dado por:n
    n
    n
    e=\\sqrt{4\\pi\\alpha}\\sim 0.303<\/center>n
    n
    nE, consequentemente, carga el\u00e9trica, no sistema natural, seja tamb\u00e9m adimensional. Como corrente el\u00e9trica \u00e9 definida com unidade tal que [A]=[q][T]^{-1}, corrente el\u00e9trica possui a mesma unidade de energia.
    n
    nFinalmente, no sistema natural que adotamos, a constante de Boltzman k_B=1 faz com que 1=[E][Temp]^{-1}\\rightarrow[Temp]=[E], ou seja, temperatura e energia t\u00eam a mesma unidade.
    n
    nNote que, neste sistema, precisamos apenas de uma grandeza dimensional, a energia. Todas as outras grandezas t\u00eam unidade de energia ou de uma pot\u00eancia da energia. Isto simplifica demais qualquer conta que precisemos fazer, pois n\u00e3o precisamos nos preocupar em convers\u00f5es de unidades. Por outro lado, n\u00e3o \u00e9 f\u00e1cil imaginar um intervalo de tempo em MeV-1<\/sup>. A gente consegue quantificar tempo em m\u00faltiplos de segundo. Sendo assim, no final, quando necessitamos mostrar resultados finais de um c\u00e1lculo, at\u00e9 mesmo para comparar com valores experimentais, torna-se necess\u00e1rio converter as grandezas do sistema natural para uma unidade mais corriqueira. Para isso, saber fazer an\u00e1lise dimensional \u00e9 bastante importante. Vale lembrar ent\u00e3o que:n
    n
    n
    n\\hbar = 1 = 6.582\\times 10^{-22} \\text{ MeV s} \\rightarrow 1 \\text{ MeV}^{-1} = 6.582 \\times 10^{-22} \\text{ s}n<\/center>n
    n
    nOu ainda, utilizando a rela\u00e7\u00e3o (mostre esta rela\u00e7\u00e3o):n
    n
    n
    n\\hbar c = 1 = 197.3 \\text{ MeV fm} \\rightarrow 1 \\text{ MeV}^{-1} = 197.3 \\text{ fm}n<\/center>n
    n
    nO que permite converter as unidades de comprimento e tempo para valores familiares, lembrando que 1 \\text{ fm} = 10^{-15} \\text{ m}.
    n
    n\n\n

    Exemplo<\/h3>\n\nnO comprimento de onda comptom para o p\u00edon, no sistema natural de unidades \u00e9:n
    n
    n
    \\lambda_{\\pi} = \\frac{\\hbar}{m_{\\pi}c} = \\frac{1}{m_{\\pi}} \\sim 0.0071\\text{ MeV}^{-1}n<\/center>n
    nUtilizando o nosso fator de convers\u00e3o para fm, temos que:n
    n
    n
    n\\lambda_{\\pi} \\sim 0.0071 \\times 197.3 \\text{ fm} \\sim 1.41 \\text{ fm}n<\/center>n
    nTipicamente a se\u00e7\u00e3o de choque hadr\u00f4nica \u00e9 da ordem do quadrado do comprimento de onda comptom, ou seja:n
    n
    n
    n\\sigma\\sim\\lambda_{\\pi}^2\\sim 5\\times 10^{-5} \\text{ MeV}^{-2}n<\/center>n
    nQue, convertido para fm2<\/sup>, resulta em:n
    n
    n
    n\\sigma\\sim 5\\times 10^{-5} \\times (197.3)^2 \\text{ fm}^{2} \\sim 2 \\text{ fm}^{2}n<\/center>n
    n\n\n

    Leitura recomendada<\/h3>\n\nn\n\n
      n\n\n
    1. http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Natural_units<\/a>n<\/ol>\n\n
      nn\n\n

      Exerc\u00edcios<\/h3>\n\nn\n\n
        n\n\n
      1. \u00c9 comum utilizar, em f\u00edsica de part\u00edculas e f\u00edsica nuclear experimentais, a unidade de tempo fm\/c. Obtenha o fator de escala para tempo no sistema natural de unidades e esta escala, normalmente adotada em f\u00edsica experimental.n\n\n
      2. A f\u00f3rmula de Gell-Mann\/Okubo de massa relaciona as massas das part\u00edculas no octeto de b\u00e1rions (supondo massa do pr\u00f3ton e n\u00eautron iguais), bem como das part\u00edculas \\Sigma^0,\\Sigma^+,\\Sigma^- iguais entre si e \\Xi^0,\\Xi^-, tamb\u00e9m iguais, atrav\u00e9s da rela\u00e7\u00e3o
        n
        n2(m_p+m_\\Xi) = 3m_\\Lambda + m_\\Sigma
        n
        nCalcule, utilizando as massas no Particle Data Group, a massa da part\u00edcula \\Lambda. Compare com o valor tabelado.n\n\n
      3. Calcule, a partir dos valores tabelados no Particle Data Group, a vida m\u00e9dia do m\u00faon \\mu e do ta\u00fa \\tau no sistema natural de unidades. n\n\n
      4. Calcule o valor de momento |\\vec p| = 1\\text{ GeV} no MKSA.n\n\n
      5. Obtenha as unidades de for\u00e7a, press\u00e3o, campo el\u00e9trico e campo magn\u00e9tico no sistema natural de unidades. Obtenha os fatores de convers\u00e3o para o MKSA destas unidades.n\n\n
      6. Qual a temperatura em graus Celsius de um sistema a uma temperatura de 150 MeV?n<\/ol>\n\n ]]><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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